Analysis II für Mathematiker

Satz 9.8 Jede absolut konvergente Reihe in M(X) konvergiert gleichmäßig.Dieser Satz ist bemerkenswert, da man z.B. statt der gleichmäßigen Konvergenzeiner Funktionenreihe nur die absolute Konvergenz einer Zahlenreihe untersuchenmuß, für die wir zahlreiche Kriterien kennen.Beispiel 3 Die Reihe ∑ ∞n=11konvergiert für jedes x > 1 (ist also auf (1,∞)n xpunktweise konvergent), und sie ist gleichmäßig konvergent auf jedem Intervall[c,∞) mit c > 1. Die Funktionen f n (x) = n −x sind nämlich auf [c,∞) strengmonoton fallend. Also ist ||f n || ∞ = n −c , und für c > 1 konvergiert die Reihe∑ ∞n=11. Die Funktion ζ(x) := ∑ ∞n c n=11heißt die Riemannsche Zetafunktion.n xBeispiel 4 Jede Potenzreihe ∑ ∞n=0 a nz n mit Konvergenzradius R > 0 ist aufder Kreisscheibe {z ∈ C : |z| < R} punktweise konvergent. Für 0 ≤ r < Rkonvergiert sie auf jeder Kreisscheibe {z ∈ C : |z| ≤ r} sogar gleichmäßig. Fürdie Funktionen f n (z) = a n z n ist nämlich||f n || ∞ = sup |a n z n | = |a n |r n ,|z|≤rund die Reihe ∑ ∞n=0 |a n|r n konvergiert, da jede Potenzreihe im Inneren ihresKonvergenzbereichs absolut konvergiert (Satz 6.16).9.3 Gleichmäßige Konvergenz und StetigkeitIn diesem Abschnitt sei (X,d) ein metrischer Raum, und wir betrachten FunktionenX → R. Die Sätze 9.9 und 9.10 lassen sich problemlos auf FunktionenX → R k , k > 1, übertragen.Satz 9.9 Die Funktionen f n : X → R sollen gleichmäßig gegen f : X → Rkonvergieren, und sei x 0 ∈ X. Ist jede der Funktionen f n in x 0 stetig, so ist auchdie Grenzfunktion f in x 0 stetig.Beweis Sei ε > 0 beliebig. Wir wählen N so, dass ||f −f N || ∞ < ε/3. Dann istfür alle x ∈ X|f(x)−f(x 0 )| ≤ |f(x)−f N (x)|+|f N (x)−f N (x 0 )|+|f N (x 0 )−f(x 0 )|≤ 2||f −f N || ∞ +|f N (x)−f N (x 0 )| < 2ε/3+|f N (x)−f N (x 0 )|.Da f N in x 0 stetig ist, finden wir eine Umgebung U von x 0 so, dass |f N (x) −f N (x 0 )| < ε/3 für alle x ∈ U. Für alle x ∈ U ist alsoAlso ist f in x 0 stetig.|f(x)−f(x 0 )| < 2ε/3+|f N (x)−f N (x 0 )| < ε.160