Analysis II für Mathematiker

Funktion f mit ‖f‖ ∞ ≤ 1 (offenbar genügt es, solche Funktionen zu betrachten).Nach dem Riemannschen Integrabilitätskriterium gibt es für jedes ε > 02π–periodische Funktionen ϕ,ψ : R → R mit folgenden Eigenschaften:(a) ϕ,ψ sind Treppenfunktionen.(b) −1 ≤ ϕ ≤ f ≤ ψ ≤ 1.ψϕ(c) ∫ 2π(ψ(x)−ϕ(x))dx ≤ ε2. 0 802πSei g := f −ϕ, und seien s n,f ,s n,g bzw. s n,ϕ die n–ten Partialsummen der Fourierreihenvon f,g bzw. ϕ. Dann ist s n,f = s n,g +s n,ϕ und folglich‖f −s n,f ‖ 2 ≤ ‖ϕ−s n,ϕ ‖ 2 +‖g −s n,g ‖ 2 . (9.19)Nach Schritt 2 gibt es ein N so, dass ‖ϕ−s n,ϕ ‖ 2 < ε/2 für alle n ≥ N. Weiter ist‖g −s n,g ‖ 2 2∫(9.17) 2π≤ ‖g‖ 2 2 =≤∫ 2π00|g(x)| 2 dx =|ψ(x)−ϕ(x)| 2 dx ≤ 2∫ 2π0∫ 2π0|f(x)−ϕ(x)| 2 dx(ψ(x)−ϕ(x))dx (c)≤ ε24 .(Beachte: wegen |ψ−ϕ| ≤ 2 ist |ψ−ϕ| 2 ≤ 2(ψ−ϕ).) Mit (9.19) folgt schließlich∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N ‖f −s n,f ‖ 2 < ε,d.h. die Partialsummen s n,f konvergieren in der L 2 -Norm gegen f.179