Analysis II für Mathematiker

(a) die Abbildung f besitzt genau einen Fixpunkt x ∗ .(b) für jeden Startvektor x 0 ∈ X konvergiert die durch x n := f(x n−1 ), n ≥ 1,definierte Folge (x n ) gegen x ∗ .(c) d(x n ,x ∗ ) ≤ 11−L d(x n,x n+1 ) ≤ Ln1−L d(x 0,x 1 ).Beweis Sei x 0 ∈ X und x n := f(x n−1 ) für n ≥ 1. Wir zeigen, dass (x n ) eineCauchyfolge ist. Für m ≥ 1 haben wird(x n ,x n+m ) ≤ d(x n ,x n+1 )+d(x n+1 ,x n+2 )+...+d(x n+m−1 ,x n+m )≤ (1+L+...+L m−1 )d(x n ,x n+1 )= 1−Lm1−L d(x n,x n+1 ) ≤ 11−L d(x n,x n+1 )L n≤1−L d(x 0,x 1 ).Wegen 0 ≤ L < 1 wird die rechte Seite kleiner als jedes vorgegebene ε > 0, wennnur n hinreichend groß ist. Also ist (x n ) eine Cauchyfolge. Da X vollständig ist,konvergiert (x n ) gegen ein x ∗ ∈ X. Aus der Stetigkeit von f folgt schließlichf(x ∗ ) = limn→∞f(x n ) = limn→∞x n+1 = x ∗ ;x ∗ ist also Fixpunkt von f. Die Abbildung f kann keine weiteren Fixpunktebesitzen. Aus x ∗ = f(x ∗ ) und y ∗ = f(y ∗ ) folgt nämlichd(x ∗ ,y ∗ ) = d(f(x ∗ ),f(y ∗ )) ≤ Ld(x ∗ ,y ∗ ),also d(x ∗ ,y ∗ ) = 0. Die in (c) angegebenen Abschätzungen folgen sofort ausd(x n ,x n+m ) ≤ 11−L d(x n,x n+1 ) ≤ Ln1−L d(x 0,x 1 ),wenn man m → ∞ streben läßt.Der Banachsche Fixpunktsatz ist ein wichtiges Werkzeug der Analysis, das Ihnenauch in anderen Situationen wiederbegegnen wird (z.B. in der Vorlesung überDifferentialgleichungen im 3. Semester). In der numerischen Mathematik ist derBanachsche Fixpunktsatz ein Instrument, um die Konvergenz von Näherungsverfahrenzu beweisen und Lösungen von Fixpunktgleichungen näherungsweise zuberechnen.Beispiel 1 Sei X das Stadtgebiet von Darmstadt (das wir als abgeschlosseneTeilmenge des R 2 auffassen und das deshalb vollständig ist). Irgendwo in DarmstadtbreitenwireinenStadtplanvonDarmstadtausunderkläreneineAbbildungf : X → X wie folgt. Jedem Punkt x ∈ X wird derjenige Punkt f(x) ∈ X zugeordnet,über dem das Bild von x auf dem Stadtplan liegt. Ist 1 : n der Maßstab227