Analysis II für Mathematiker

NachderKettenregelist〈(gradF)(γ(t)),γ ′ (t)〉geradedieAbleitungderFunktionφ(t) := F(γ(t)) = (F ◦γ)(t). Wir erhalten also∫γ(gradF)(x)·dx =∫ βαφ ′ (t)dt = φ(β)−φ(α)mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Schließlich istφ(β)−φ(α) = F(γ(β))−F(γ(α)) = F(b)−F(a).Der allgemeine Fall eines stückweise stetig differenzierbaren Weges ergibt sichdurch Zusammensetzen der einzelnen Integrale.Ist γ ein geschlossener Weg (d.h. ist γ(α) = γ(β)) so erhalten wir insbesondere∫gradF ·dx = 0.Beispiel 3 Auf U := R 2 \{0} betrachten wir das Vektorfeld(f(x,y) := − y )xx 2 +y 2, x 2 +y 2und den geschlossenen WegWegen γ ′ (t) = (−sint, cost) ist∫γf·dx =∫ 2π0γγ : [0,2π] → U , t ↦→ (cost, sint).( −sintsin 2 t+cos 2 t (−sint)+ cost)sin 2 t+cos 2 t (cost) dt =∫ 2π0dt = 2π.Die Funktion f ist also kein Gradientenfeld, da das Integral über die geschlosseneKurve γ nicht verschwindet. Dies ist ein wichtiger Unterschied zu Funktioneneiner Veränderlichen. Im R 1 besitzt jede auf einem Intervall stetige Funktion eineStammfunktion.11.4 Ergänzungen zum Begriff ”Zusammenhang“Für das Weitere müssen wir unsere Kenntnisse über zusammenhängende Mengenvertiefen. Dem in Abschnitt 6.8 entwickelten Zusammenhangsbegriff stellen wireinen zweiten gegenüber.Definition 11.11 Ein metrischer Raum (X,d) heißt wegzusammenhängend,wenn es für je 2 Punkte x,y ∈ X einen Weg γ : [a,b] → X mit γ(a) = x undγ(b) = y gibt.219