Analysis II für Mathematiker

Das Volumen, das pro Zeiteinheit aus dem Quader Q in der positiven x-Richtungaustritt, ist also etwa gleich(V1 (x 0 +∆x,y 0 ,z 0 )−V 1 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) ) ∆y∆z= V 1(x 0 +∆x,y 0 ,z 0 )−V 1 (x 0 ,y 0 ,z 0 )∆x≈ ∂V 1∂x (x 0,y 0 ,z 0 )∆x∆y∆z.∆x∆y∆zWir stellen in ähnlicher Weise die Massenbilanz für den Fluß in positiver y- undz-Richtung auf und erhalten als Endresultat, dass das Flüssigkeitsvolumen, daspro Zeiteinheit aus Q austritt, ungefähr gleich( ∂V1∂x (x 0,y 0 ,z 0 )+ ∂V 2∂y (x 0,y 0 ,z 0 )+ ∂V 3∂z (x 0,y 0 ,z 0 )ist. Mit der in Abschnitt 10.2 eingeführten Divergenz)∆x∆y∆z (14.12)(divF)(x) =n∑i=1∂F i∂x i(x), x ∈ Deines stetig differenzierbaren Vektorfeldes F = (F 1 ,...,F n ) : D → R n könnenwir (14.12) schreiben als(divV)(x 0 ,y 0 ,z 0 )∆x∆y∆z.Dividieren wir diesen Wert durch das Volumen ∆x∆y∆z von Q und ziehen wir QaufdenPunkt(x 0 ,y 0 ,z 0 )zusammen,sokönnenwir(divV)(x 0 ,y 0 ,z 0 )alsQuellendichteder Strömung im Punkt (x 0 ,y 0 ,z 0 ) interpretieren. Ist (divV)(x 0 ,y 0 ,z 0 ) >0, so ist (x 0 ,y 0 ,z 0 ) eine Quelle im eigentlichen Sinn (ihr entströmt Flüssigkeit).Im Fall (divV)(x 0 ,y 0 ,z 0 ) < 0 heißt (x 0 ,y 0 ,z 0 ) auch eine Senke (da in diesemPunkt Flüssigkeit verschwindet).Einige Rechenregeln für die Divergenz Sei D ⊆ R n offen, und seien F,G :D → R n und ϕ : D → R stetig differenzierbar. Dann giltdiv(F +G) = divF +divG,div(λF) = λdivF für λ ∈ R,div(ϕF) = ϕdivF +gradϕ·F.14.4 Der Gaußsche Integralsatz im RaumWir können nun die anschauliche Aussage des Gaußschen Integralsatzes in Formelnfassen. Es sei G ein geeigneter räumlicher Bereich und ∂G sein Rand (seine282