Analysis II für Mathematiker

Da außerdem beim Übergang von Z n zu Z ′ n höchstens r neue Punkte hinzukommen,giltU(Z ′ n,f)−U(Z n ,f) ≤ 2rM|Z n |. (8.2)Wir überlegen uns (8.2) zunächst für einen hinzukommenden Punkt t. Liegt tetwa in [x i ,x i+1 ], wobei die x i Punkte der Zerlegung Z n sind, so hat manU(Z ′ n,f)−U(Z n ,f) = infx∈[x i ,t] f(x)(t−x i)+ infx∈[t,x i+1 ] f(x)(x i+1 −t)− infx∈[x i ,x i+1 ] f(x)(x i+1 −x i )≤ M(t−x i )+M(x i+1 −t)+M(x i+1 −x i )= 2M∆x i ≤ 2M|Z n |.Damit ist (8.2) für einen hinzukommenden Punkt gezeigt, und der allgemeineFall ergibt sich durch Wiederholung dieser Überlegungen.Addition von (8.1) und (8.2) ergibt nun∫ b0 ≤ f(x)dx−U(Z n ,f) < ε/2+2rM|Z n | ≤ ε/2+ 2rMε4rM = ε∗afür alle n ≥ N, woraus die behauptete Konvergenz folgt.Wir nennen eine beschränkte Funktion f : [a,b] → R Darboux–integrierbar, wenn∫ b ∫ ∗bf(x)dx = f(x)dx.∗aSatz 8.7 Eine beschränkte Funktion f : [a,b] → R ist genau dann Darboux–integrierbar, wenn es für jedes ε > 0 eine Zerlegung Z von [a,b] mit O(Z,f) −U(Z,f) < ε gibt.Beweis (⇐=)Seiε > 0.WirwähleneineZerlegungZ mitO(Z,f)−U(Z,f) < ε.Wegen∫ b ∫ ∗bU(Z,f) ≤ f(x)dx ≤ f(x)dx ≤ O(Z,f)ist dann erst recht0 ≤∗a∫ ∗baa∫f(x)dx−ab∗af(x)dx < ε.Dies gilt für jedes ε > 0. Also sind oberes und unteres Darbouxsches Integralgleich.(=⇒) Sei f Darboux–integrierbar und J := ∫ bf(x)dx, und ε > 0 sei beliebig∗a vorgegeben. Da J das Infimum von Ober– und das Supremum von Untersummenist, gibt es Zerlegungen Z 1 ,Z 2 von [a,b] so, dassJ −U(Z 1 ,f) < ε/2 und O(Z 2 ,f)−J < ε/2.129