Analysis II für Mathematiker

absolutenKonvergenzdiegewöhnliche(Cauchy-Kriterium).AnalogeDefinitionentrifft man fürund für∫ ∞−∞Beispiel 1 Es ist∫ ∞1∫ a−∞f(x)dx =f(x)dx = lims→−∞∫ a−∞= lims→−∞f(x)dx+∫ as∫ as∫ ∞af(x)dxf(x)dxf(x)dx+ limt→+∞∫ taf(x)dx.∫ tx α dx = lim x α dx = lim− 1 falls α ≠ −1α+1 α+1t→∞1{lnt falls α = −1∞ falls α ≥ −1 (Divergenz)=t→∞{t α+1− 1α+1falls α < −1 (Konvergenz).Beispiel 2 Wir berechnen ∫ ∞x n e −x dx. Eine Stammfunktion des Integranden0istn∑F(x) = −e −x n!k! xk .Dies kann man einfach durch Differenzieren bestätigen. Wir überlegen uns, dasslim x→∞ F(x) = 0. Hierfür genügt es zu zeigen, dasslimx→∞k=0x k= 0 für jedes k ≥ 0. (8.25)ex Aus der Definition der Exponentialfunktion durch eine Potenzreihe folgt für jedesk ∈ N und jedes x > 0e x ≥ xk+1(k +1)!bzw. 0 ≤ xk (k +1)!≤ .ex xGrenzübergang x → ∞ in der rechten Ungleichung liefert (8.25). Zusammengefassterhalten wir∫ ∞0x n e −x dx = limt→∞∫ t0x n e −x dx = limt→∞F(t)−F(0) = −F(0) = n!Beispiel 3 Wir zeigen, dass ∫ ∞ sinxdx konvergiert. An der Stelle 0 ist der Integrandnicht definiert. Wegen lim x→0 = 1 lässt sich die Funktion x ↦→ sinxx x0 xsinxaber zu einer auf [0,∞) stetigen Funktion fortsetzen, wenn man ihren Wert ander Stelle 0 durch 1 festlegt. Insbesondere existiert ∫ 1 sinxdx als gewöhnliches0 x149