Analysis II für Mathematiker

x 3S 2 = Graph von ϕ 2GS 1 = Graph von ϕ 1x 2x 1KDer obere Deckel S 2 ist ein Flächenstück im R 3 mit der ParameterdarstellungF 2 : K → R 3 , (x 1 ,x 2 ) ↦→ ( x 1 ,x 2 ,ϕ(x 1 ,x 2 ) ) .Der durch F 2 bestimmte Normaleneinheitsvektor (vgl. Beispiel 5 aus 14.1)(1N 2 (u,v) = √ (∂ϕ2 ) 2 (∂x 1+∂ϕ2) − ∂ϕ 2,− ∂ϕ )2,12∂x 2+1∂x 1 ∂x 2ist der äußere Normaleneinheitsvektor für G (da die z-Komponente > 0 ist). Deruntere Deckel S 1 wird beschrieben durchF 1 : K → R 3 , (x 1 ,x 2 ) ↦→ ( x 1 ,x 2 ,ϕ 1 (x 1 ,x 2 ) ) ,und der zugehörigen Normaleneinheitsvektor istN 1 (u,v) =1(√ ( ) 2 ( ) 2∂ϕ 1∂x 1+∂ϕ 1∂x 2+1− ∂ϕ 1, − ∂ϕ )1, 1 .∂x 1 ∂x 2Dieser zeigt ebenfalls in Richtung der positiven z-Achse (also in G hinein), sodass der äußere Normalenvektor an G auf S 1 gleich −N 1 (u,v) ist.Satz 14.8 (Gaußscher Integralsatz im R 3 ) Sei G ⊆ R 3 ein C 1 -Normalbereichund H : G → R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Weiter bezeichneN : ∂G → R 3 das äußere Normalenfeld von G. Dann ist∫∫∫ ∫∫(divH)(x)dx = H ·Ndσ. (14.15)G∂GBeweis Es genügt, die Aussage zu beweisen, wenn H die Gestalt H = (0,0,H 3 ) That(mankannjaH alsSummedreierderartigerAusdrückeschreiben,unddieDivergenzsowie die Integrale in (14.15) sind linear in H). Nach Satz 13.34 erhalten284