Analysis II für Mathematiker

DasIntegralsin 2 tcostln 1+cost kanndurchpartielleIntegrationbestimmtwerden1−cost(der Faktor sin 2 tcost wird integriert und liefert 1 3 sin3 t, der Faktor ln 1+cost wird 1−costdifferenziert und ergibt −2 ). Eingesetzt findet man schließlichsintalso( πV = 2hR 2 4 − 1 6 sin3 ϕln 1+cost∣1−cost13.7 Die SubstitutionsregelV = 1 3 πhR2 .∣ π/20− 2 6∫ π/20)sin 2 ϕdϕ ,Nach dieser aufwändigen Rechnung für ein elementares Resultat fragt man sich,ob man nicht von vornherein die Rechnung hätte vereinfachen können durch eineandere Beschreibung des Kegels, etwa in Zylinderkoordinaten (die Substitutionsregelhaben wir ja ohnehin verwenden müssen). Beschreiben wir die Grundflächein Polarkoordinaten, so wird der Kegel offenbar beschrieben durch{(r,ϕ,z) : r ∈ [0,R], ϕ ∈ [0,2π], z ∈ [0,h− h R r]},was eine wesentlich einfachere Integration erwarten läßt. Problem: Wie haben wirim Integral ∫ f(x,y,z)d(x,y,z) den Ausdruck d(x,y,z) zu transformieren, wennBwir von (x,y,z) zu neuen Koordinaten, etwa r,ϕ und z, übergehen?A Motivation. Zu berechnen ist das Integral∫f(x,y)d(x,y)Büber einem Bereich B ⊆ R 2 , versehen mit x,y-Koordinaten. Die Substitutionx := ϕ(u,v), y := ψ(u,v) führt neue Veränderliche ein. Durch diese Substitutionwerde ein Bereich B ′ ⊆ R 2 mit Koordinaten u,v (wir sagen auch: ein Bereich deruv-Ebene) injektiv auf B abgebildet; genauer: die Abbildung( ( )u ϕ(u,v)g : B ′ → B, ↦→ g(u,v) =v)psi(u,v)ist eine Bijektion von B ′ auf B. Diese Abbildung übersetzt ein Rechtecknetz überB ′ in ein ”krummliniges Netz“ über B:263