Analysis II für Mathematiker

wobeiẋ(t) = dxdt (t).Beispielsweisewirddurchx = acost, y = bsint mit t ∈ [0,2π]eine Ellipse beschrieben. Für ihren Flächeninhaltfindet man−ab−ba∫ aF(M) = 2= 2abBeispiel 5 Durch−a∫ π0f(x)dx = 2∫ 0π(sin 2 tdt = 2aby(t)ẋ(t)dt = 2ab− sintcost2∫ 0πsint(−sint)dt+ 1 )∣ ∣∣2 t π= πab.x = a(t−sint), y = a(1−cost) mit t ∈ Rwird eine Zykloide definiert. Diese Kurve beschreibt den Weg eines Punktes aufder Kreisperipherie beim Abrollen des Kreises.✻2a. . .. . . . .. . . . .. . . . . .. .. .. . .. . . . . .. ✲0 2πa 4πa 6πaFür die Fläche unter einem Zykloidenbogen findet manF(M) =∫ 2π0= a 2 ∫ 2π0= 3a 2 π.∫ 2πy(t)ẋ(t)dt = a 2 (1−cost)(1−cost)dt0((1−2cost+cos 2 t)dt = a 2 t−2sint+ costsint + t ) ∣∣ 2π2 200154