Analysis II für Mathematiker

Punkte aus Ũ mit lim n→∞(t n ,x n ,h n ) = (t,x,0) und h n ≠ 0 (für h n = 0 ist dieAussage wieder offensichtlich). Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnungfür Funktionen einer Veränderlichen, angewandt auf die Funktiongibt es ein ξ n ∈ [0,1] mita : s ↦→ f(t n ,x n +sh n e i ),a(1)−a(0)h n= f(t n,x n +h n e i )−f(t n ,x n )h n= ∂f∂x i(t n ,x n +ξ n h n e i ).Für n → ∞ ist h n → 0 und folglich auch ξ n h n → 0. Wegen der Stetigkeit von ∂f∂x iist daherg(t n ,x n ,h n ) = f(t n,x n +h n e i )−f(t n ,x n )h n= ∂f (t n ,x n +ξ n h n e i ) → ∂f (t,x) = g(t,x,0).∂x i ∂x iAlso ist g stetig. Wenden wir die Aussage des ersten Teils des Satzes an, erhaltenwir∂F∂x i(x) = ∂∂x i∫ b=∫ baaf(t,x)dt = limg(t,x,0)dt =∫ bh→0a∫ bag(t,x,h)dt∂f∂x i(t,x)dt.Schließlich hängt diese Funktion – wieder nach dem ersten Teil des Satzes – stetigvon x ab.Beispiel Für |t| < 1 berechnen wir das IntegralF(t) :=∫ π0ln(1−2tcosx+t 2 )dx.Um Satz 10.28 benutzen zu können, wählen wir ein a ∈ (|t|,1) und betrachten Fauf dem kompakten Intervall [−a,a]. (Man beachte, dass 1−2tcosx+t 2 > 0 für|t| < 1.) Die Funktionf(x,t) := ln(1−2tcosx+t 2 )ist nach t stetig partiell differenzierbar und hat die Ableitung∂f∂t = 2t−2cosx1−2tcosx+t 2Aus der zweiten Aussage von Satz 10.28 folgtF ′ (t) =∫ π0auf [0,π]×[−a,a].2t−2cosx1−2tcosx+t 2 dx.204