Analysis II für Mathematiker

Riemann-Integral.Wirmüssenalsonochzeigen,dass ∫ ∞ sinxdxkonvergiert.PartielleIntegration liefert für jedes t >1 x1∫ t1sinxxdx = −cosxx∣ t −1∫ t1cosxx 2 dx.Offenbar existiert der Grenzwertlim −cosx∣ t ( cost= lim − +cos1 ) = cos1,t→∞ x 1 t→∞ t∫ t cosxund es verbleibt, die Existenz des Grenzwertes lim t→∞ dx zu beweisen.1 x 2Wir benutzen das Cauchy-Kriterium und schätzen für 1 ≤ t 1 < t 2 ab:∣∫ t2t 1cosxdx∣ ≤x 2∫ t2t 1|cosx|x 2dx ≤∫ t2t 11x 2 dx = 1 t 1− 1 t 2< 1 t 1.Ist nun ε > 0 beliebig vorgegeben, so gilt für alle t 2 > t 1 > 1/ε:∣∫ t2t 1cosxx 2 dx ∣ ∣ < ε.Also existiert ∫ ∞ cosxdx und damit auch ∫ ∞1 x 2 0ist übrigens gleich π/2.Wir haben oben ∫ ∞−∞∫ tf(x)dx. In diesem Sinn exi-sstiert z.B. ∫ ∞−∞sinxxdx. Der Wert dieses Integralsf(x)dx definiert als lims→−∞t→+∞xdx nicht als uneigentliches Riemann-Integral. Es ist aber∫ tx 2lim xdx = lim ∣ t = 0.t→∞−t t→∞ 2 −tDefinition 8.40 Ist f : R → R auf∫jedem Intervall [−t,t] Riemann-integrierbar,tund existiert der Grenzwert lim t→∞ f(x)dx im eigentlichen Sinn, so heißt dieserGrenzwert Cauchyscher Hauptwert, und wir bezeichnen ihn−tmitV.P.∫ ∞−∞f(x)dx.Beispielsweise ist also V.P. ∫ ∞xdx = 0.−∞Als eine Anwendung uneigentlicher Integrale vermerken wir das Integralkriteriumfür die Konvergenz von Reihen.Satz 8.41 Sei f : [1,∞) → [0,∞) monoton fallend. Dann konvergiert die Reihe∑ ∞n=1 f(n) genau dann, wenn das Integral ∫ ∞1f(x)dx konvergiert.Beweis Für jedes k ≥ 1 ist f(k +1) ≤ ∫ k+1f(x)dx ≤ f(k).k150