Analysis II für Mathematiker

9.6.2 Trigonometrische ReihenEine Funktion f : R → R heißt trigonometrische Reihe, wenn es Konstantena n ∈ R (n ≥ 0) und b n ∈ R (n ≥ 1) so gibt, dassf(x) = a ∞02 + ∑(a n cosnx+b n sinnx) für alle x ∈ R. (9.10)n=1Trigonometrische Reihen sind offenbar 2π–periodisch.Satz 9.20 Wenn die Reihen ∑ ∞n=1 a n und ∑ ∞n=1 b n absolut konvergieren, so konvergiertdie Reihe (9.10) auf R absolut bezüglich der Supremumsnorm und gleichmäßig.Beweis Die absolute Konvergenz der Reihe (9.10) folgt aus||a n cosnx+b n sinnx|| ∞ = sup|a n cosnx+b n sinnx| ≤ |a n |+|b n |.x∈RNach Satz 9.8 folgt aus der absoluten die gleichmäßige Konvergenz.Im Weiteren benötigen wir die für alle m,n ∈ Z gültigen Identitäten∫ 2π⎧⎨ 0 für m ≠ ncosmx cosnxdx = π⎩für m = n ≠ 00∫ 2π0∫ 2π0sinmx sinnxdx =sinmx cosnxdx = 0.2π für m = n = 0,{ 0 für m ≠ nπ für m = n > 0,Diese kann man leicht mit Hilfe von Additionstheoremen wiecosαcosβ = 1 2(cos(α−β)+cos(α+β))(9.11)zeigen (↗ Übung). Mit den Identitäten (9.11) erhält man einen Zusammenhangzwischen den Werten einer trigonometrischen Reihe f und ihren Koeffizientena n ,b n .Satz 9.21 (Euler/Fourier) Die Reihe (9.10) sei auf R gleichmäßig konvergent.Dann gilta n = 1 πb n = 1 π∫ 2π0∫ 2π0f(x) cosnxdx (n = 0,1,2,...)f(x) sinnxdx (n = 1,2,...).171(9.12)