Analysis II für Mathematiker

eine gerade Funktion, d.h. f(z) = f(−z) für alle z, so folgt aus∞∑ ∞∑f(z) = f(−z) = a n (−z) n = (−1) n a n z n ,dass a n = (−1) n a n für alle n bzw. a n = 0 für alle ungeraden n ist.n=0Das dritte Resultat dieses Abschnittes betrifft die Division von Potenzreihen.Satz 9.16 Die Potenzreihe f(z) = ∑ ∞n=0 a n(z−z 0 ) n konvergiere für |z−z 0 | < R,und es sei a 0 ≠ 0. Dann lässt sich 1/f in einer gewissen Umgebung von z 0 wiederin eine konvergente Potenzreihe entwickeln.Sehen wir uns die Potenzreihenentwicklung von 1/f zunächst formal und fürz 0 = 0 an. Aus f ·f −1 = 1 bzw. ( ∑ ∞n=0 a nz n )( ∑ ∞n=0 b nz n ) = 1 folgt nach Cauchy-Multiplikation∞∑ n∑( a k b n−k )z n = 1 = 1+0z 1 +0z 2 +... .n=0k=0n=0Durch Koeffizientenvergleich folgen hieraus die Gleichungena 0 b 0 = 1 (bei z 0 )a 1 b 0 +a 0 b 1 = 0 (bei z 1 )a 2 b 0 +a 1 b 1 +a 0 b 2 = 0(bei z 2 ) u.s.w.Wegen a 0 ≠ 0 kann man aus der ersten Gleichung b 0 ermitteln, dann aus derzweiten b 1 , aus der dritten b 2 usw. Hierdurch wird eine Potenzreihe ∑ ∞n=0 b nz neindeutig festgelegt, und Satz 9.16 sagt aus, dass diese Reihe einen positivenKonvergenzradius besitzt.Beispiel 1 Nach Satz 9.16 läßt sich die Tangensfunktion in einer Umgebung desPunktes0in einePotenzreiheentwickeln. Wir bestimmendieerstenKoeffizientender Potenzreihe tanx := ∑ ∞n=0 a nx n mit der Methode des Koeffizientenvergleichsaus tanx := sinx/cosx und den bekannten Potenzreihen für die Sinus- undKosinusfunktion. Koeffizientenvergleich inliefertx− x33!+ x55!−... = (a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +a 4 x 4 +...)·bei x 0 : 0 = a 0bei x 1 : 1 = a 1bei x 2 : 0 = a 2 − 1 2 a 0bei x 3 : − 1 6= a 3 − 1 2 a 1bei x 4 : 0 = a 4 − 1 2 a 2 + 124 a 0166·(1− x22!+ x44!− x66!+...)