Analysis II für Mathematiker

Satz 8.22 Sind f,g : [a,b] → R Riemann-integrierbar und sind α,β ∈ R, so istauch αf +βg : [a,b] → R Riemann-integrierbar, und es gilt∫ ba(αf +βg)(x)dx = α∫ baf(x)dx+β∫ bag(x)dx.Die Menge der Riemann-integrierbaren Funktionen bildet also einen linearenRaum, und die Abbildung f ↦→ ∫ bf(x)dx ist linear.aBeweis Für jede Zerlegung Z und jeden zugehörigen Zwischenvektor ξ giltS(Z,ξ,αf +βg) = αS(Z,ξ,f)+βS(Z,ξ,g).Aus der Definition des Riemann-Integrals folgt die Behauptung.8.6 Integralungleichungen und MittelwertsätzeSatz 8.23 Sind f,g : [a,b] → R Riemann-integrierbar und ist f(x) ≥ g(x) füralle x ∈ [a,b], so ist auch∫ baf(x)dx ≥∫ bag(x)dx.Für jede Riemannsumme gilt nämlich S(Z,ξ,f) ≥ S(Z,ξ,g).Satz 8.24 (Dreiecksungleichung für Integrale) Für jedeRiemann-integrierbareFunktion f : [a,b] → R ist auch die Funktion |f| Riemann-integrierbar, undes gilt∫ b∫ b∣ f(x)dx∣ ≤ |f(x)|dx. (8.12)aBeachten Sie die Ähnlichkeit zur bekannten Dreiecksungleichung|a 1 +a 2 | ≤ |a 1 |+|a 2 | bzw.a∣n∑ ∣ ∣∣n∑a i ≤ |a i |.Beweis Die Riemann-Integrierbarkeit von |f| folgt mit dem Lebesgueschen Integrabilitätskriterium:Ist f in x stetig, so ist auch |f| in x stetig. Also kann |f|nicht mehr Unstetigkeitsstellen als f besitzen. Die Ungleichung (8.12) erhält manaus der Dreiecksungleichung für Riemann-Summen:i=1|S(Z,ξ,f)| ≤ S(Z,ξ,|f|)oder mit Satz 8.23 aus f ≤ |f| und −f ≤ |f|.i=1137