Analysis II für Mathematiker

Die Produkt– und Quotientenregel vermerken wir nur für skalarwertige Funktionen.Satz 10.13 Seien U ⊆ R n offen und f,g : U → R in x ∈ U differenzierbar.Dann sind auch die Funktionen fg : U → R und (falls g(x) ≠ 0) f/g : U → Rin x differenzierbar, und es ist(fg) ′ (x) = g(x)f ′ (x)+f(x)g ′ (x),( f) ′(x) g(x)f ′ (x)−f(x)g ′ (x)= .g g 2 (x)Die Beweise dieser beiden Sätze werden wie im Fall n = 1 geführt und sind HA.Satz 10.14 (Kettenregel) Seien U ⊆ R n und V ⊆ R m offene Mengen, und g :U → R m und f : V → R k seien Funktionen mit g(U) ⊆ V. Ist g in x 0 ∈ U und fin g(x 0 ) ∈ Vdifferenzierbar, so ist die zusammengesetzte Funktion f◦g : U → R kin x 0 differenzierbar, und es gilt)(f ◦g) ′ (x 0 ) = f(g(x ′ 0 ) ◦g ′ (x 0 ).Das ◦ auf der rechten Seite steht für die Verkettung der linearen Abbildungeng ′ (x 0 ) und f ′ (g(x 0 )). In Matrixschreibweise bedeutet das gerade das Matrixproduktder k ×m–Matrix f ′ (g(x 0 )) mit der m×n–Matrix g ′ (x 0 ).Beweis Differenzierbarkeit von g in x 0 bzw. f in g(x 0 ) bedeutetwobeig(x)−g(x 0 = g ′ (x 0 )(x−x 0 )+r(x−x 0 ), (10.15)( ) )( ) ( )f(y)−f g(x 0 ) = f(g(x ′ 0 ) y −g(x 0 ) +s y −g(x 0 ) , (10.16)r(x−x 0 )limx→x 0 ‖x−x 0 ‖ = 0,limy→g(x 0 )s(y −g(x 0 ))‖y −g(x 0 )‖ = 0.Wir setzen in (10.16) y = g(x) und anschließend (10.16) in (10.15) ein:( ) ( ) ( )f g(x) −f g(x 0 ) = f ′ g(x 0 ) g ′ (x 0 )(x−x 0 )+t(x 0 ,x)mit) ( )t(x 0 ,x) = f(g(x ′ 0 ) r(x−x 0 )+s g(x)−g(x 0 ) .Wir müssen zeigen, dasst(x 0 ,x)( )‖x−x 0 ‖ = r(x−x0 )f′ g(x 0 )‖x−x 0 ‖ + s(g(x)−g(x 0))‖x−x 0 ‖für x → x 0 gegen 0 strebt. Für den ersten Summanden ist dies wegen der Stetigkeitder linearen Abbildung f ′ (g(x 0 )) und wegen lim h→0 r(h)/‖h‖ = 0 klar. Für191