Analysis II für Mathematiker

˜DDMAußerdem erweitern wir V um eine Komponente:Ṽ : ˜D → R 3 , Ṽ(x 1 ,x 2 ,x 3 ) := ( V 1 (x 1 ,x 2 ),V 2 (x 1 ,x 2 ),0 ) T.Der Gaußsche Integralsatz (14.15), angewandt auf ˜D und Ṽ, liefert∫∫ ∫∫∫Ṽ ·N dσ = divṼ dx. (14.18)∂ ˜DBeim Flächenintegral auf der linken Seite heben sich die Anteile des Bodensund des Deckels weg, da die zugehörigen Normalenvektoren entgegengesetzt sind,sonst jedoch alles gleich ist. Es ist insbesondere Ṽ(x 1,x 2 ,0) = Ṽ(x 1,x 2 ,1). Alsoverbleibt nur das Integral über die Mantelfläche M = ∂D × [0,1]. Aus (14.18)folgt somit ∫∫ ∫∫∫Ṽ ·N dσ = divṼ dx. (14.19)MDie Mantelfläche hat eine Parameterdarstellung F : [a,b]×[0,1] := M → R 3 ,˜D˜DF(t,z) = ( X 1 (t),X 2 (t),z ) Tmit t ∈ [a,b],z ∈ [0,1],worausmandenäußeren(abernochnichtnormierten!)NormalenvektorimPunktF(t,z)n(F(t,z)) = ( Ẋ 2 (t),−Ẋ1(t),0 ) Terhält. Mit (14.11) erhalten wir für die linke Seite von (14.19)∫∫ ∫∫Ṽ ·N dσ = Ṽ ·n 1‖n‖ dσM(14.11)=M∫∫Ṽ ( F(t,z) )·n ( F(t,z) ) d(t,z)==[a,b]×[0,1]∫ 1 ∫ b0∫ baa(V1(X(t)),V2(X(t)),0)·(Ẋ2 (t),−Ẋ1(t),0 ) dtdz(V 1(X(t))Ẋ2 (t)−V 2(X(t))Ẋ1 (t))dt,288