Analysis II für Mathematiker

( ∂FF ′ = ,..., ∂F )∂x 1 ∂x mauf V.Beispiel 3 Sei x : (0,1) → R n \{0} eine differenzierbare Funktion. Dann ist dieverkettete Funktionf : (0,1) → R, t ↦→ ‖x(t)‖ 2nach Beispiel 1 aus Abschnitt 10.2 und nach Satz 10.14 differenzierbar, und dieKettenregel liefert wie in Beispiel 1f ′ (t) =n∑i=1x i (t)‖x(t)‖ 2·x ′ i(t) = 〈x(t),x′ (t)〉‖x(t)‖ 2,wobei 〈·,·〉 für das übliche Skalarprodukt im R n steht.Beispiel 4 Wir sehen uns die Anwendung der Kettenregel bei der Transformationvon Differentialausdrücken an. Durch Einführung von Polarkoordinatenx = rcosϕ,y = rsinϕ auf R 2 \{(0,0)} wird aus einer Funktion u = u(x,y) eineFunktion v = v(r,ϕ) = u(rcosϕ,rsinϕ).✻y. . . . . . . ..0rϕ.......x✲Wir zeigen, dass dabei beispielsweise der Ausdruck x ∂u∂y −y∂u ∂vin übergeht. Aus∂x ∂rx = rcosϕ und y = rsinϕ folgt r = √ x 2 +y 2 und ϕ = arctan y . Differenzierenxliefertund analog ∂r∂y∂r∂x == sinϕ sowie2x2 √ x 2 +y = rcosϕ2 r= cosϕ∂ϕ∂x = 1( −y)1+( y = −yx )2 x 2 x 2 +y = −rsinϕ2 r 2und analog ∂ϕ∂y = cosϕr. Demzufolge ist nach Beispiel 2= − sinϕr∂u∂x = ∂v ∂r∂r ∂x + ∂v ∂ϕ∂ϕ ∂x = ∂v ∂v sinϕcosϕ− ,∂r ∂ϕ r∂u= ∂v ∂r∂y ∂r ∂y + ∂v ∂ϕ∂ϕ ∂y = ∂v ∂v cosϕsinϕ+ .∂r ∂ϕ r193