Analysis II für Mathematiker

während auf der rechten Seite von (14.19)ist. Daher ist∫∫∫divṼ d(x 1,x 2 ,x 3 ) =˜DdivṼ = ∂V 1∂x 1+ ∂V 2∂x 2= divV∫ 10∫∫D∫∫divV d(x 1 ,x 2 )dx 3 =DdivV d(x 1 ,x 2 ).Zusammengefaßt erhalten wirSatz 14.10 (Gaußscher Integralsatz im R 2 ) Sei D ⊆ R 2 ein Normalbereich(bzgl. der x 1 - und der x 2 -Achse), dessen Rand ∂D durch einen stückweise stetigdifferenzierbaren Weg X = (X 1 ,X 2 ) T : [a,b] → R 2 parametrisiert wird, der Dpositiv umläuft. Weiter sei V = (V 1 ,V 2 ) T : D → R 2 ein stetig differenzierbaresVektorfeld. Dann gilt∫ ba( ( ( )V 1 X(t))Ẋ2 (t)−V 2 X(t))Ẋ1 (t) dt =∫∫D(divV)(x)dx. (14.20)Man beachte, dass auf der linken Seite von (14.20) ein Wegintegral entlang desWeges X steht. Nehmen wir die UmbenennungW 1 := V 2 , W 2 := −V 1 , W := (W 1 ,W 2 ) Tvor, so geht nach Multiplikation mit −1 die linke Seite von (14.20) über in∫ ba( ( ( )W 1 X(t))Ẋ1 (t)+W 2 X(t))Ẋ2 (t) dt,d.h. in das Wegintegral ∫ W ·dX über den durch X parametrisierten Rand von∂DD, und auf der rechten Seite von (14.20) ist −divV = − ∂V 1∂x 1− ∂V 2∂x 2zu ersetzendurch ∂W 2∂x 1− ∂W 1∂x 2. Man schreibt oftrotW := ∂W 2∂x 1− ∂W 1∂x 2(14.21)und nennt rotW die (skalarwertige) Rotation des Vektorfeldes W = (W 1 ,W 2 ) T .MitdiesenBezeichnungenerhaltenwirdiefolgendeVersiondesGaußschenSatzesim R 2 .Satz 14.11 (Greenscher Integralsatz) Seien D und X wie in Satz 14.10, undW = (W 1 ,W 2 ) T : D → R 2 sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann ist∫ ∫ ( ∂W2W ·dX = − ∂W ) ∫1d(x 1 ,x 2 ) = (rotW)(x)dx.∂x 1 ∂x 2∂ΩD289D