Analysis II für Mathematiker

Also ist (die absolute Konvergenz der betrachteten Reihen folgt aus der Konvergenzder Reihe ∑ ∞ 1n=1, vgl. Kapitel 5)n 2∞∑n=0|c n | 2 = a22π + ∞∑n=1= a22π + 1 π= a22π + 2 πsin 2 ∞nan 2 π + ∑ (1−cosna) 2n 2 πn=1∞∑ ( sin 2 na+ 1 n 2 n − 2cosna2 n 2n=1∞∑n=1( 1n 2 − cosnan 2 ).+ cos2 nan 2 )Mit der Identität∞∑n=1cosnxn 2=(π −x)24− π212 , x ∈ [0,2π](Nachrechnen!) erhalten wir weiter∞∑n=0|c n | 2 = a22π + 2 ππ 2= a22π + π 3 − 2 π6 − 2 π( π2( (π −a)24)− π2124 − πa2 + a24 − π212)= a.Für diese spezielle Funktion gilt also die Parsevalsche Gleichung (9.18), und ausFolgerung 9.27 folgt die Behauptung.2. Schritt Wir zeigen die Behauptung fürstückweise konstante Funktionen f (“Treppenfunktionen”).Für jede derartige Funktiongibt es Funktionen f 1 ,...,f r von der im 1.SchrittbeschriebenenGestaltsowieKonstantenα 1 ,...,α r so, dass f(x) = ∑ rj=1 α jf j (x) für allex ∈]0,2π] mit Ausnahme endlich vieler.Seien s n bzw. s nj die n. Partialsummen der Fourierreihen der Funktionen f bzw.f j . Dann ist offenbar s n = ∑ rj=1 α js nj und folglich0✻f..2π✲r∑‖f −s n ‖ 2 = ‖ α j (f j −s nj )‖ 2 ≤j=1r∑|α j |‖f j −s nj ‖ 2 .j=1Nach Schritt 1 folgt ‖f −s n ‖ 2 → 0.3. Schritt Wir zeigen die Behauptung für eine beliebige Riemann-integrierbare178