Analysis II für Mathematiker

∆⃗σ iV(x i )ϕ∆F iFließt die Flüssigkeit aus der Seite von ∆F i heraus, in die der Flächenvektor ∆⃗σ izeigt, so ist V(x i )·∆⃗σ i ≥ 0 und andernfalls ≤ 0. Das Vorzeichen von V(x i )·∆⃗σ igibt also an, in welche Richtung ∆F i durchflossen wird. Die Summation derDurchflüsse über alle Maschen∑V(x i )·∆⃗σ iiund der Übergang zu beliebig kleinen Maschenweiten führen zum Flächenintegral2. Art∫U = V(x)·d⃗σ.FDie Größe |U| gibt also das Gesamtvolumen an, das pro Zeiteinheit das FlächenstückF durchströmt, wobei die Anteile beider Strömungsrichtungen durch Fgegeneinander aufgerechnet sind. Das Vorzeichen von U gibt an, an welcher Seitedes Flächenstücks mehr herausfließt: Ist U > 0, so strömt mehr Flüssigkeitin Richtung der Normalenvektoren von F, ist U < 0, so in entgegengesetzterRichtung. Man nennt U auch den Fluss von V durch F.Beispiel 9 Seien D und F wieder wie in Beispiel 1 (Kugeloberfläche), und seiH : R 3 → R 3 die identische Abbildung, d.h. H(x,y,z) = (x,y,z). Dann ist nachBeispiel 4N(u,v) = (cosucosv,sinucosv,sinv),und mitH ( F(u,v) ) = F(u,v) = (rcosucosv,rsinucosv,rsinv)erhalten wir mit (14.11) für das Flächenintegral 2. Art∫ ∫ ∫ ∫H ·d⃗σ = H ·N dσ = rdσ = rFFDas Flächenintegral ∫ dσ ist gleich dem Flächeninhalt der Kugeloberfläche. WirFhaben es in Beispiel 7 berechnet und erhalten damit∫H ·d⃗σ = 4πr 3 .F280FFdσ.