Analysis II für Mathematiker

Anmerkung 3Satz14.8undFolgerung14.9geltenauchnochunterschwächerenVoraussetzungen. Z.B. genügt es, dass sich G als endliche Vereinigung sich nichtüberlappender C 1 -Normalbereiche schreiben läßt. Man beachte auch, dass derNormalenvektor nicht in jedem Randpunkt definiert ist (z.B. nicht entlang derKanten eines Quaders).14.5 Der Gaußsche Integralsatz in der EbeneDer Gaußsche Integralsatz und seine Folgerung gelten (bei geeigneter Definitiondes Flächenintegrals) in jeder Raumdimension n. Den Gaußschen Integralsatz imR 2 kann man durch geeignete Reduzierung um eine Koordinate wie folgt aus demGaußschen Integralsatz im R 3 gewinnen.Sei D ⊆ R 2 ein Normalbereich bezüglich der x 1 - und der x 2 -Achse (vgl. Definition14.8). In diesem Fall nennen wir D einfach einen Normalbereich. Der Rand ∂Dsei eine geschlossene Kurve, die durch einen stückweise stetig differenzierbarenWeg X : [a,b] → R 2 parametrisiert wird. Durchläuft t das Intervall [a,b] vona nach b, so wandert X(t) entlang ∂G in einer bestimmten Richtung, und wirwollen annehmen, dass dabei G stets links des Weges liegt. Man sagt auch, dassD vom Weg X positiv umlaufen wird oder dass der Rand ∂D positiv orientiertist (anschaulich: im Gegenuhrzeigersinn).DerTangentialvektoran∂DimPunktX(t) = ( X 1 (t),X 2 (t) ) istT := ( Ẋ 1 (t),Ẋ 2 (t) ) ,und N := ( Ẋ 2 (t),−Ẋ1(t) ) ist ein auf T senkrecht stehender Vektor, der nach außenzeigt.∂DDT = Ẋ(t)NManbeachte,dassdieseVektorennurinPunktendefiniertsind,indenenX stetigdifferenzierbar ist. Auf D sei ein stetig differenzierbares VektorfeldV = (V 1 ,V 2 ) T : D → R 2gegeben. Wir bilden aus D den räumlichen Bereich˜D := D×[0,1] = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ) ∈ R 3 : (x 1 ,x 2 ) ∈ D,x 3 ∈ [0,1]},d.h. ˜D ist eine Scheibe (= ein Zylinder) der Dicke 1, bei dem Boden und Deckeldie Form von D haben. Offenbar ist ˜D ein Normalbereich im R 3 .287