Analysis II für Mathematiker

für alle y im Konvergenzintervall (−R,R).Das nächste Resultat besagt, dass die Werte einer Potenzreihe im Inneren ihresKonvergenzkreises eindeutig festgelegt sind, wenn man ihre Werte nur in einerFolge von Punkten z n mit lim n→∞ z n = 0 kennt. Genauer:Satz 9.15 (Identitätssatz für Potenzreihen) Seienf(z) =∞∑f n (z −z 0 ) n und g(z) =n=0∞∑g n (z −z 0 ) nPotenzreihen, die auf einer Kreisscheibe K := {z ∈ C : |z −z 0 | < R} mit R > 0konvergieren, und sei (z n ) ∞ n=1 ⊆ K\{z 0 } eine Folge mit Grenzwert z 0 . Ist f(z n ) =g(z n ) für alle n ≥ 1, so stimmen beide Funktionen bzw. beide Potenzreihen aufK überein, d.h. es istn=0f(z) = g(z) ∀z ∈ K und f n = g n ∀n ∈ N.Beweis Nach Satz 6.19 sind f und g stetig auf K. Also giltf 0 = f(z 0 ) = limn→∞f(z n ) = limn→∞g(z n ) = g(z 0 ) = g 0 .Wir nehmen dies als Induktionsanfang. Als Induktionsvoraussetzung nehmen wiran, wir hätten für ein gewisses n bereits gezeigt, dassf 0 = g 0 , f 1 = g 1 ,..., f n = g nund wollen zeigen, dass dann auch f n+1 = g n+1 . Dazu genügt es, die oben gemachtenÜberlegungen auf die Potenzreihenund˜f(z) := f(z)−∑ nk=0 f k(z −z 0 ) k(z −z 0 ) n+1 = f n+1 +f n+2 (z −z 0 )+f n+3 (z −z 0 ) 2 +...˜g(z) = g(z)−∑ nk=0 g k(z −z 0 ) k(z −z 0 ) n+1 = g n+1 +g n+2 (z −z 0 )+g n+3 (z −z 0 ) 2 +...anzuwenden. (Diese sind durch die Brüche nur für z ≠ z 0 , durch die rechtenSeiten aber auch für z = z 0 definiert.)Der Identitätssatz ist Grundlage des Koeffizientenvergleichs: Hat man ein unddieselbe Funktion in zwei Potenzreihen ∑ a n (z−z 0 ) n und ∑ b n (z−z 0 ) n mit positivemKonvergenzradius entwickelt, so folgt a n = b n für alle n. Ist beispielsweisef(z) :=∞∑a n z nn=0165