Analysis II für Mathematiker

Satz 10.21 (Taylor) Sei U ⊆ R n offen, f : U → R (k+1)–mal stetig partielldifferenzierbar, und sei x+th ∈ U für alle t ∈ [0,1]. Dann gibt es ein τ ∈ (0,1)so, dass∑ 1f(x+h) =α! (Dα f)(x)h α + ∑ (D α f)(x+τh)h α .α!|α|≤k|α|=k+1} {{ } } {{ }Taylorpolynom der Ordnung k RestgliedBeispiel Wir bestimmen das Taylorpolynom der Ordnung 2 der Funktion f :R 2 → R, (x 1 ,x 2 ) ↦→ e x2 1 +cosx 2im Punkt x = (0,0). Dieses ist gleichf(0) + (D 1 f)(0)h 1 +(D 2 f)(0)h 2 + 1 2 (D2 1f)(0)h 2 1+ 1 2 (D2 2f)(0)h 2 2 +(D 1 D 2 f)(0)h 1 h 2 ,und wir bestimmen die partiellen Ableitungen von f bis zur 2. Ordnung:(D 1 f)(x 1 ,x 2 ) = 2x 1 e x2 1 +cosx 2=⇒ (D 1 f)(0) = 0.(D 2 f)(x 1 ,x 2 ) = −sinx 2 e x2 1 +cosx 2=⇒ (D 2 f)(0) = 0.(D 2 1f)(x 1 ,x 2 ) = (2+4x 2 1)e x2 1 +cosx 2=⇒ (D 2 1f)(0) = 2e.(D 2 2f)(x 1 ,x 2 ) = (−cosx 2 +sin 2 x 2 )e x2 1 +cosx 2=⇒ (D 2 2f)(0) = −e.(D 1 D 2 f)(x 1 ,x 2 ) = −2x 1 sinx 2 e x2 1 +cosx 2=⇒ (D 1 D 2 f)(0) = 0.Das gesuchte Taylorpolynom ist also(h 1 ,h 2 ) ↦→ e+eh 2 1 − e 2 h2 2.Beweis von Satz 10.21 Die Funktion g : [0,1] → R,t ↦→ f(x + th) ist nachSatz 10.20 (k+1)–mal stetig differenzierbar. Der Satz von Taylor für Funktioneneiner Veränderlichen behauptet die Existenz eines τ ∈ (0,1) so, dassf(x+h) = g(1) =k∑m=0g (m) (0)m!+ g(k+1) (τ)(k +1)! .Wieder nach Satz 10.20 istg (m) (0)m!= ∑|α|=m(D α f)(x)α!h αsowieg (k+1) (τ)(k +1)!= ∑|α|=k+1(D α f)(x+τh)α!h α ,woraus die Behauptung folgt.198