Analysis II für Mathematiker

(A) Wir betrachten nur stetige Funktionen. Auf C([0,2π]) ist ||·|| 2 eine Norm.(B) Man identifiziert zwei Funktionen, wenn ||f −g|| 2 = 0.Wir werden hier beides nicht tun: (A) engt uns zu sehr ein, und (B) schauen wiruns im Rahmen der Lebesgueschen Integrationstheorie im 4. Semester an.Definition 9.25 Seien f,f n : R → R 2π–periodisch und Riemann-integrierbarauf [0,2π]. Die Folge (f n ) konvergiert im quadratischen Mittel gegen f, wenn∫ 2πlim ||f −f (n|| 2 = 0 bzw. lim f(x)−fn (x) ) 2dx = 0.n→0 n→∞0Noch einmal: die Tatsache, dass ||·|| 2 keine Norm auf R([0,2π]) ist, bringt einigeKomplikationen mit sich (z.B. kann (f n ) gegen zwei verschiedene Funktionen fund g im quadratischen Mittel konvergieren), die wir erst im vierten Semesterbeheben.Zwei Funktionen f,g ∈ R([0,2π]) heißen orthogonal, wenn 〈f,g〉 = 0.Eine Folge (u n ) von Funktionen heißt ein Orthogonalsystem, wenn 〈u m ,u n 〉 = 0für alle m ≠ n und ein Orthonormalsystem, wenn zusätzlich 〈u n ,u n 〉 = 1 für allen ist. Aus den Identitäten (9.11) wissen wir, dass die Funktionenu 0 (x) := 1 √2π, u 2n (x) := cosnx √ π, u 2n−1 (x) := sinnx √ π(n ≥ 1) (9.16)ein Orthonormalsystem über dem Intervall [0,2π] bilden.Ist f Riemann-integrierbar und (u n ) n≥0 ein Orthonormalsystem auf [0,2π], soheißen die Zahlen c n := 〈f,u n 〉 die Fourierkoeffizienten von f und ∑ ∞n=0 c nu ndie Fourierreihe von f. Man überlegt sich leicht, dass für das spezielle Orthonormalsystem(9.16) diese Begriffe mit den früher definierten übereinstimmen.Wann konvergiert nun die Fourierreihe einer Funktion im quadratischen Mittelgegen diese Funktion? Zunächst eine Vorüberlegung.Satz 9.26 (Besselsche Ungleichung) Sei f : R → R 2π–periodisch und Riemann–integrierbarauf [0,2π], und sei (u n ) ∞ n=0 ein Orthonormalsystem auf [0,2π].Dann gilt für die Fourierkoeffizienten c n = 〈f,u n 〉:∞∑|c n | 2 ≤n=0∫ 2π0|f(x)| 2 dx = ||f|| 2 2.Beweis Wir überlegen uns zunächst für jedes k ∈ N die Beziehung‖f −k∑c n u n ‖ 2 2 = ‖f‖ 2 2 −n=0176k∑|c n | 2 . (9.17)n=0