Analysis II für Mathematiker

Beispiel Ein Kreiskegel mit Radius R und Höhe h ist ein Normalbereich im R 3 .Wir haben etwaB 1 = [−R,R],B 2 = {(x,y) : x ∈ [−R,R], − √ R 2 −x 2 ≤ y ≤ √ R 2 −x 2 }(= Grundfläche des Kegels),B 3 = {(x,y,z) : (x,y) ∈ B 2 , 0 ≤ z ≤ h− h R√x2 +y 2 }.hl−R0 rR(Beachte: (x,y) hat von (0,0) den Abstand r := √ x 2 +y 2 .) Die Länge l dergestrichelten Strecke ist nach dem Strahlensatzh : R = l : (R−r) bzw. l = hR−hrRFür das Volumen dieses Kegels finden wir daher∫V = d(x,y,z) =B 3===∫ R ∫ √ R 2 −x 2−R∫ R−R∫ R= 2h−R∫ R∫ R ∫ √ R 2 −x ∫ 2 h−hR−R − √ R 2 −x 2 0√x2 +y 2 )dydx√x 2 +y 2(h− h− √ R 2 −x R(2 hy − h R(2h √ R 2 −x 2 −h √ R 2 −x 2 − x2 h0= h− h R r.dzdydx( y2√x2 +y 2 + x22 ln(y +√ x 2 +y 2 )( √R2−x 2 − x22R ln R+√ )R 2 −x 2R− √ dx.R 2 −x 2Wir substituieren x = Rsint, dx = Rcostdt und erhalten∫ π/2(V = 2h Rcost− R0 2 sin2 tln 1+cost1−cost∫ π/2= 2hR 20) ) ∣ ∣∣√R 2 −x 2− √ R 2 −x 2 dx2R ln R+√ )R 2 −x 2R− √ dxR 2 −x 2)Rcostdt(cos 2 t− 1 2 sin2 tcostln 1+cost1−cost262)dt.