Analysis II für Mathematiker

f(k)f(k +1)fkk +1Aufsummieren von k = 1,...,n−1 ergibt für jedes n ≥ 2f(2)+...+f(n) ≤∫ nFür die Partialsummen s n := ∑ nk=11s n −f(1) ≤f(x)dx ≤ f(1)+...+f(n−1).f(k) gilt also∫ n1f(x)dx ≤ s n−1 .Aus der linken Ungleichung folgt: Ist ∫ ∞f(x)dx konvergent, so bleiben die s1 nbeschränkt, also (da alle Reihenglieder nichtnegativ sind) konvergiert ∑ ∞n=1 f(n).Analog liefert die rechte Ungleichung die umgekehrte Behauptung.Beispiel 4 Aus Beispiel 1 wissen wir, daß ∫ ∞x −α dx für alle α > 1 konvergiert.1Also konvergiert ∑ ∞ 1n=1für alle α > 1.n α8.10.2 Integrale mit offenem IntegrationsintervallSei f : [a,b) → R für jedes ε ∈ (0,b − a)auf [a,b−ε] Riemann-integrierbar. Wenn∫ b−εder Grenzwert lim ε↘0 f(x)dx existiert,sobezeichnenwirihnmit∫ bf(x)dx aaund sagen, f sei auf [a,b) uneigentlich integrierbar.Eine analoge Definition trifftman für links halboffene Intervalle.afb−εbIst a < c < b und f auf [a,b]\{c} definiert, und existieren die uneigentlichenIntegrale ∫ cf(x)dx und ∫ bf(x)dx, so definiert mana c∫ baf(x)dx :=∫ caf(x)dx+∫ bcf(c)dx = limε↘0∫ c−εa∫ bf(x)dx+lim f(x)dx.δ↘0c+δ151