Analysis II für Mathematiker

woraus nach Koeffizientenvergleich folgt( ( ) n+1 (a n = √ 1 25 −1+ √ 5 −) n+1 (−= 1√5( (1+ √ 522−1− √ 51− √ 52) n+1)) n+1).WirwerdenSatz9.16im3.Semesterbeweisen.FürInteressentenfolgteinBeweis,der nur reelle Methoden benutzt. Dafür benötigen wir einige Vorbereitungen.Eine Abbildung f : N × N → C heißt auch Doppelfolge. Wie bei gewöhnlichenFolgen identifiziert man f häufig mit ihren Werten f(m,n) =: a mn und schreibt(a mn ) ∞ m,n=0 für die Doppelfolge. Konvergenz der Doppelfolge (a mn ) ∞ m,n=0 gegena ∈ C bedeutet nach Definition∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N ∀m,n ≥ n 0 : |a mn −a| < ε. (9.8)Beispiel 3 Für jede Folge (a n ) wird durch a mn := a m − a n eine Doppelfolgefestgelegt. Die Folge (a n ) ist genau dann Cauchyfolge, wenn die zugeordneteDoppelfolge (a mn ) gegen 0 konvergiert.Beispiel 4 Die Doppelfolge (a mn ) mit a mn = (−1) m+n ( 1 + 1 ) konvergiert gegenm n0. Für n 0 ≥ 2/ε und m,n ≥ n 0 ist nämlich|a mn −0| =1∣m + 1 n∣ ≤ 2 ≤ ε.n 0FürdenGrenzwertaeinerkonvergentenDoppelfolge(a mn )schreibtmanlim m,n→∞a mn = a. Wenn für jedes m die Grenzwerte lim n→∞ a mn bzw. für jedes n dieGrenzwerte lim m→∞ a mn existieren, kann man auch die iterierten Grenzwertelim m→∞ (lim n→∞ a mn ) bzw. lim n→∞ (lim m→∞ a mn ) betrachten.Man beachte, dass im Beispiel 4 zwar der Grenzwert lim m,n→∞ a mn existiert,nicht aber die Grenzwerte lim m→∞ a mn bzw. lim n→∞ a mn .Satz 9.17 Die Doppelfolge (a mn ) sei konvergent, und für jedes m bzw. n sollendie Grenzwerte lim n→∞ a mn und lim m→∞ a mn existieren. Dann existieren auch dieinterierten Grenzwerte, und es gilt:lim (lim a mn) = lim( lim am→∞ n→∞ n→∞mn) = lim a mn.m→∞ m,n→∞Beweis Sei a := lim m,n→∞ a m,n , und für jedes m existiere der Grenzwert α m :=lim n→∞ a mn . Konvergenz der Doppelfolge (a mn ) bedeutet gerade (9.8). Lassen wirin (9.8) n → ∞ streben, folgt∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N ∀m ≥ n 0 |α m −a| ≤ ε.Dies heißt aber nichts anderes als dass lim m→∞ α n = a. Die zweite Aussage folgtanalog.168