Analysis II für Mathematiker

vyB ′00 1100 1100 11g00 1100 1100 1100 11B0u0xWir sehen uns genauer an, wie das schraffierte Rechteck in der uv-Ebene auf daskrummlinige“ Parallelogramm (ebenfalls schraffiert) in der xy-Ebene abgebildet”wird:(u j,v k + ∆v k ) (u j + ∆u j,v k + ∆v k )∆v kg(ϕ(uj + ∆u j,v k + ∆v k ),ψ(u j + ∆u j,v k + ∆v k ) )(ϕ(uj,v k + ∆v k ), (ψ(u j,v k + ∆v k ) ) ϕ(uj + ∆u j,v k ),ψ(u j + ∆u j,v k ) )(u j,v k )∆u j (u j + ∆u j,v k )(ϕ(uj,v k ),ψ(u j,v k ) )DerFlächeninhaltdiesesRechtecks(wieerinderDefinitiondesRiemann-Integralsüber B ′ auftritt) ist ∆u j ∆v k . Um den Flächeninhalt des krummlinigen“ Parallelogrammszu berechnen, nehmen wir an, dass ∆u j und ∆v k so klein sind, dass das”krumme“ Parallelogramm fast ein echtes Parallelogramm ist. Für den Flächeninhalteines Parallelogramms mit den Eckpunkten (x 1 ,y 1 ),...,(x 4 ,y 4 )”gilt(x 4 ,y 4 )(x 3 ,y 3 )(x 2 ,y 2 )(x 1 ,y 1 )Fläche = |(x 2 −x 1 )(y 4 −y 1 )−(x 4 −x 1 )(y 2 −y 1 )|. (13.5)Dies läßt sich leicht ableiten, indem man z.B. von der unten gezeichneten Rechteckflächedie schraffierten Dreiecksflächen subtrahiert:264