Analysis II für Mathematiker

Beweis Sei (f n ) ⊆ M(X) eine Cauchyfolge, d.h.∀ε > 0 ∃n 0 ∀m,n ≥ n 0 : d(f n ,f m ) = sup|f n (x)−f m (x)| < ε. (9.2)x∈XOffenbar ist für jedes feste x ∈ R die Folge ( f n (x) ) eine Cauchyfolge in R. DaR vollständig ist, konvergiert die Folge ( f n (x) ) gegen eine Zahl, die wir f(x)nennen. Hierdurch wird eine Funktion f : X → R festgelegt. Wir zeigen: f istbeschränkt (d.h. f ∈ M(X)) und d(f,f n ) = ||f −f n || ∞ → 0.Beschränktheit: Aus (9.2) wissen wir:∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N ∀m,n ≥ n 0 ∀x ∈ X : |f n (x)−f m (x)| < ε.Vollziehen wir hierin den Grenzübergang m → ∞, folgt∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N ∀n ≥ n 0 ∀x ∈ X : |f n (x)−f(x)| ≤ ε. (9.3)Wir wählen z.B. ε = 1 und das zugehörige n 0 und erhalten|f(x)| ≤ |f n0 (x)|+|f n0 (x)−f(x)| ≤ ||f n0 || ∞ +1 für alle x ∈ X,d.h. f ist beschränkt. Die Konvergenz von f n gegen f bzgl. der Supremumsnormfolgt ebenfalls sofort aus (9.3).Wir vermerken noch einige wichtige Konsequenzen der Vollständigkeit des RaumesM(X). Diese gelten entsprechend für beliebige Banachräume.Seien f n Funktionen aus M(X). Die Funktionenreihe ∑ ∞k=0 f k heißt punktweisebzw. gleichmäßig konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen s n := ∑ nk=0 f kpunktweise ( bzw. ) gleichmäßig konvergiert. Aus der Vollständigkeit des RaumesM(X), ||·||∞ folgt sofort das Cauchysche Konvergenzkriterium.Satz 9.7 (Cauchy-Kriterium) Seien f n ∈ M(X).(a) Die Folge (f n ) konvergiert genau dann gleichmäßig, wenn sie eine Cauchyfolgeist, d.h. wenn∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N ∀m,n ≥ n 0 : ||f n −f m || ∞ < ε.(b) Die Reihe ∑ ∞k=0 f k konvergiert genau dann gleichmäßig, wenn es für jedesε > 0 ein n 0 ∈ N gibt, so dass für alle n ≥ n 0 und alle r ∈ N gilt∑n+r∥ ∥∥∞∥ f k < ε.k=nDie Reihe ∑ ∞n=0 f n heißt absolut konvergent, wenn die Reihe ∑ ∞n=0 ||f n|| ∞ konvergiert.Wie im Beweis von Satz 5.9 zeigt man:159