Analysis II für Mathematiker

∂FV∆Y i V(Yi )Wir zerlegen das Flächenstück F in endlich viele kleine Maschen F i .F iFBei entsprechender Orientierung der Ränder der F i erhalten wir für die Zirkulation∫V ·dY = ∑∂F i∫∂F iV ·dY = ∑ i∫1V ·dY ·I(F i ), (14.23)I(F i ) ∂F iwobei I(F i ) für den Flächeninhalt von F i steht. Nun verfeinern wir die Maschen.Man kann zeigen (vgl. Burg/Haf/Wille IV, S. 156-158): Wenn man eine MascheF i auf einen Punkt x i ∈ F zusammenzieht, dann strebt der Quotient1I(F i )∫∂F iV ·dY (14.24)gegen einen festen Wert, nämlich gegen (rotV)(x i )·N(x i ). Dieser Ausdruck heißtauch die Wirbelstärke von V in x i . Hierbei ist N(x i ) die gemeinsame Flächennormaleder zu x i zusammengezogenen Maschen, und die Rotation rotV ist wie inAbschnitt 10.2 durch( ∂F3(rotF)(x) = (x)− ∂F 2(x), ∂F 1(x)− ∂F 3(x), ∂F 2(x)− ∂F ) T1(x)∂x 2 ∂x 3 ∂x 3 ∂x 1 ∂x 1 ∂x 2erklärt.Man beachte, dass man für ein Vektorfeld der GestaltF(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = ( F 1 (x 1 ,x 2 ), F 2 (x 1 ,x 2 ), 0 )291