Analysis II für Mathematiker

12 Gleichungen und MannigfaltigkeitenWir wenden uns nun einer der typischen Aufgaben der Mathematik zu, demLösen von Gleichungen. Sind X,Y geeignete Mengen und ist F : X → Y eineentsprechende Abbildung, so sind in Verbindung mit der Gleichung F(x) = yfolgende Fragen von Interesse:– Für welche y ∈ Y hat die Gleichung F(x) = y eine Lösung x ∈ X?– Wenn die Gleichung F(x) = y für ein y ∈ Y lösbar ist, wieviele Lösungenhat sie dann?– Falls die Gleichung F(x) = y für alle y ∈ Y eindeutig lösbar ist, wie hängendann die Lösungen x von den rechten Seiten y ab? Ist diese Abhängigkeitstetig oder gar differenzierbar?– FallsdieGleichungF(x) = y mehrereLösungenbesitzt,wiekannmandanndie Menge aller Lösungen geeignet darstellen?– Wie findet man Lösungen?Die erste Frage ist eng mit der Surjektivität von F verknüpft, und die zweitemit der Injektivität. Ist F surjektiv und injektiv (also bijektiv), so besitzt F eineUmkehrabbildung F −1 , und der dritte Punkt fragt nach der Stetigkeit bzw.Differenzierbarkeit von F −1 . Schließlich wird uns die vierte Frage auf den Begriffeiner Mannigfaltigkeit führen.Wir wollen insbesondere sehen, inwieweit die uns zugänglichen Mittel der Analysisbei der Beantwortung dieser Fragen helfen. Wir betrachten deshalb meistdifferenzierbare Funktionen F : U → V, wobei U ⊆ R n und V ⊆ R m offeneMengen sind. Beginnen werden wir aber mit einem Resultat, das nicht auf diesenRahmen beschränkt ist.12.1 Der Banachsche FixpunktsatzSei (X,d) ein metrischer Raum. Eine Abbildung f : X → X heißt Kontraktion,wenn es eine Zahl L < 1 (die Kontraktionskonstante) so gibt, dassd(f(x),f(y)) ≤ Ld(x,y) für alle x,y ∈ X.Kontraktionen sind Lipschitz-stetig und insbesondere stetig. Ein Punkt x ∈ Xheißt Fixpunkt von f : X → X, wenn f(x) = x. Für die identische Abbildungvon X ist jeder Punkt ein Fixpunkt.Satz 12.1 (Banachscher Fixpunktsatz) Sei (X,d) ein nichtleerer vollständigermetrischer Raum und f : X → X eine Kontraktion mit einer KontraktionskonstantenL. Dann gilt226