Analysis II für Mathematiker

des Stadtplans, so ist f eine kontrahierende Abbildung mit der KontraktionskonstantenL = 1/n. Nach dem Banachschen Fixpunktsatz gibt es genau einenPunkt x in Darmstadt mit f(x) = x, d.h. x liegt genau unter demjenigen Punktdes Stadtplanes, der x abbildet.Beispiel 2 Sei A ∈ L(R n ) eine lineare Abbildung mit ‖A‖ < 1. Wir wollen dielineare Gleichung(I −A)x = y, y ∈ R n , (12.1)lösen. Dazu betrachten wir die Abbildung f : R n → R n , z ↦→ Az+y, mit der wir(12.1) als Fixpunktgleichung f(x) = x schreiben können. Wegen‖f(z 1 )−f(z 2 )‖ = ‖(Az 1 +y)−(Az 2 +y)‖ = ‖A(z 1 −z 2 )‖ ≤ ‖A‖‖z 1 −z 2 ‖ist f eine Kontraktion mit der Kontraktionskonstanten ‖A‖ < 1. Nach Satz 12.1hat f genau einen Fixpunkt, d.h. die Gleichung (12.1) hat genau eine Lösungin R n . Diese können wir näherungsweise berechnen. Wir wählen z.B. x 0 = y alsStartvektor. Dann istx 1 = f(x 0 ) = Ay +y, x 2 = f(x 1 ) = Ax 1 +y = A(Ay +y)+y = A 2 y +Ay +yund allgemein, mit A 0 =: I,x n =n∑A k y für n ≥ 1.k=0Folglich ist(I −A) −1 y = x = limn→∞x n =∞∑A k y.Man kann auch leicht direkt beweisen, dass die Reihe ∑ ∞k=0 Ak in L(R n ) konvergiert(die geometrische Reihe ∑ ∞k=0 ‖A‖k ist eine konvergente Majorante) unddass∞∑A k = (I −A) −1 für ‖A‖ < 1.k=0k=0Die Reihe ∑ ∞k=0 Ak heißt die Neumann-Reihe von A.12.2 Der Satz über die UmkehrfunktionWirsehenunsnunan,wiemandenSatzüberdieUmkehrfunktionaufFunktionenmehrerer Veränderlicher verallgemeinert.Definition 12.2 Seien U ⊆ R n und V ⊆ R m offen. Eine Bijektion f : U → Vheißt Diffeomorphismus, wenn sowohl f als auch die Umkehrabbildung f −1 : V →U stetig differenzierbar sind.228