Analysis II für Mathematiker

(Man beachte, dass F(∂D) nicht mit der Kreislinie in der xy-Ebene zusammenfällt!)Nun ist∫∂F(D)H ·dY =∫ 2π+0∫ 0H ( Y 1 (t) )·Ẏ1(t)dt+−2πWir berechnen das erste Integral:H ( Y 3 (t) )·Ẏ3(t)dt+∫ π/20∫ 0H ( Y 2 (t) )·Ẏ2(t)dt−π/2H ( Y 4 (t) )·Ẏ4(t)dt.∫ 2π0H ( Y 1 (t) )·Ẏ1(t)dt ==∫ 2π0∫ 2π0(−rsint, rcost, 1)·(−rsint, rcost, 0)dt(r 2 sin 2 t+r 2 cos 2 t)dt = 2πr 2 .Das dritte Integral ist wegen Ẏ3 = 0 gleich 0, und das zweite und vierte Integralheben sich gegenseitig auf (dies ist auch sofort klar, wenn man sich die WegeY 2 ,Y 3 und Y 4 ansieht). Also ist∫H ·dY = 2πr 2 .∂F(D)Nach dem Satz von Stokes ist dann auch ∫∫F(D)Übung nachrechnen. Zunächst ist rotH = (0,0,2) undrotH · N dσ = 2πr 2 , was wir zurN = (cosucosv,sinucosv,sinv) sowie ‖F u ×F v ‖ = r 2 cosvnach Beispiel 4 aus Abschnitt 14.1. Damit wird∫∫rotH ·N dσ = ∫∫(rotH) ( F(u,v) )·N(u,v)‖F u ×F v ‖d(u,v)F(D)D= ∫∫2sinv ·r 2 cosvd(u,v)D= r 2∫ 2π0∫ π/20sin2vdvdu = 2πr 2 .Auch der Satz von Stokes läßt sich unter schwächeren Voraussetzungen zeigen.Wir vermerken noch eine interessante Konsequenz des Stokes’schen Satzes.Folgerung 14.13 Sei B ein stückweise glatt berandeter Bereich im R 3 und H :B → R 3 stetig differenzierbar. Dann ist∫∫rotH ·N dσ = 0.∂B295