Analysis II für Mathematiker

∫• sinhxdx = coshx+C,∫coshxdx = sinhx+C auf R.8.7.2 Der (erste) Hauptsatz der Differential– und IntegralrechnungSatz 8.30 Die Funktion F : [a,b] → R besitze auf [a,b] eine Riemann-integrierbareAbleitung f = F ′ . Dann ist∫ baf(x)dx =∫ bWir können dieses Resultat auch so formulieren.aF ′ (x)dx = F(b)−F(a). (8.13)Satz 8.31 Die Funktion f : [a,b] → R sei Riemann–integrierbar und besitze eineStammfunktion F. Dann gilt (8.13) unabhängig von der Wahl von F.Anmerkung 1 Es gibt differenzierbare Funktionen, deren Ableitung nicht Riemann–integrierbarist. Beispielsweise ist für{x √ xsin 1 für x > 0xF(x) =0 für x = 0die Ableitung{3√F ′ 2 xsin1x(x) = − √ 1xcos 1 für x > 0x0 für x = 0unbeschränktauf[0,1].AuchgibtesRiemann–integrierbareFunktionen,diekeineStammfunktion besitzen (z.B. die Funktion f : [−1,1] → R, die auf [−1,0) gleich−1 und sonst gleich 1 ist).Anmerkung 2 Statt F(b)−F(a) schreibt man oft F(x) ∣ ∣ b a .Beweis von Satz 8.30 Sei F : [a,b] → R differenzierbar und f := F ′ Riemann–integrierbar. Für jede Zerlegung Z = {x 0 ,...,x n } von [a,b] istF(b)−F(a) =∑n−1i=0( )F(x i+1 )−F(x i ) .NachdemMittelwertsatzderDifferentialrechnunggibtesfürjedesi = 0,...,n−1ein ξ i ∈ (x i ,x i+1 ) so, dassF(x i+1 )−F(x i ) = F ′ (ξ i )(x i+1 −x i ) = f(ξ i )∆x i .Der Vektor ξ Z := (ξ 0 ,...,ξ n−1 ) ist ein spezieller Zwischenvektor zu Z, und fürdiesen giltF(b)−F(a) =∑n−1i=0f(ξ i )∆x i = S(Z,ξ Z ,f). (8.14)140