Analysis II für Mathematiker

B Determinanten und Volumina von Parallelepipeden. Mit der Determinanteneiner 3×3–Matrix⎛ ⎞a 11 a 12 a 13det⎝a 21 a 22 a 23⎠ := a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32a 31 a 32 a 33−a 13 a 22 a 31 −a 12 a 21 a 33 −a 11 a 23 a 32kann man das Volumen eines Parallelepipeds im R 3 beschreiben:(x 4 ,y 4 ,z 4 )⎛⎞x 2 −x 1 x 3 −x 1 x 4 −x 1V =∣ det ⎝y 2 −y 1 y 3 −y 1 y 4 −y 1⎠(x 3 ,y 3 ,z 3 ) z 2 −z 1 z 3 −z 1 z 4 −z 1∣.(x 2 ,y 2 ,z 2 )(x 1 ,y 1 ,z 1 )DieDeterminanteeinern×n–Matrixwirdz.B.rekursivdefiniert.SeiA = (a ij ) n i,j=1eine n×n–Matrix, und A ij sei die (n−1)×(n−1)–Matrix, die aus A durch Streichender i-ten Zeile und der j-ten Spalte entsteht. Dann definiert man:detA = a 11 detA 11 −a 12 detA 12 +a 13 detA 13 +...+(−1) n−1 a 1n detA 1n .Die Determinante einer n×n–Matrix steht wie oben in engem Zusammenhangzum Volumen eines Parallelepipeds im R n .C Der allgemeine SubstitutionssatzSatz 13.35 Sei G ⊆ R n offen, und g : R n → R n sei injektiv und stetig differenzierbar.Die Determinante detg ′ (t) sei auf G entweder überall positiv oder überallnegativ. Weiter sei T eine kompakte und Jordan-messbare Teilmenge von G, undf sei eine auf g(T) stetige reellwertige Funktion. Dann ist g(T) wieder kompaktund Jordan-messbar, f ist auf g(T) Riemann-integrierbar, und es gilt∫ ∫f(x)dx = f ( g(t) ) |detg ′ (t)|dt. (13.6)g(T)TDie Formel (13.6) gilt auch dann noch, wenn – entgegen den obigen Voraussetzungen– die Determinante detg ′ (t) auf einer Teilmenge N von T verschwindetoder wenn g| N auf einer Teilmenge N von T nicht injektiv ist, sofern N denJordan-Inhalt 0 hat.Der Beweis kann z.B. mit vollständiger Induktion nach n erfolgen, ist aber rechtaufwändig (vgl. Heuser, S. 475–485).266