Analysis II für Mathematiker

DastetigeFunktionenaufkompaktenMengenihrSupremumundInfimumannehmen,gibt es für jedes i Punkte ξ i,ξ ′ i ′′ ∈ [x i ,x i+1 ] mit f(ξ i) ′ = M i und f(ξ i) ′′ = m i .Ausx i ≤ ξ i,ξ ′ i ′′ ≤ x i+1 folgtweiter|ξ i−ξ ′ i| ′′ < δ undsomitf(ξ i)−f(ξ ′ i) ′′ < ε/(b−a).Schließlich erhalten wir∑n−1( )O(Z,f)−U(Z,f) = f(ξ i)−f(ξ ′ i)′′ ∆x i ≤ ε ∑n−1∆x i = ε.b−ai=08.4 Das Lebesguesche IntegrabilitätskriteriumDieses Kriterium stellt einen Zusammenhang zwischen der Riemann–Integrierbarkeiteiner Funktion und der Menge ihrer Unstetigkeiten her. Wir benötigendafür den folgenden Begriff. Die Länge eines Intervalls I bezeichnen wir mit |I|.Definition 8.12 Eine Menge M ∈ R heißt Nullmenge, wenn es zu jedem ε > 0höchstens abzählbar viele abgeschlossene Intervalle I 1 ,I 2 ,... gibt, die M überdecken(d.h. M ⊆ ⋃ I j ) und für die ∑ |I j | < ε ist.Man kann in dieser Definition “abgeschlossen” durch “offen” ersetzen.Lemma 8.13 (a) Jede Teilmenge einer Nullmenge ist eine Nullmenge.(b) Abzählbare Teilmengen von R sind Nullmengen.(c) Die Vereinigung abzählbar vieler Nullmengen ist eine Nullmenge.(d) Eine kompakte Menge M ⊆ R ist genau dann Nullmenge, wenn es für jedesε > 0 endlich viele abgeschlossene Intervalle I j mit M ⊆ ⋃ j I j und ∑ j |I j| < εgibt.Beweis (a) Klar.(b) Sei {x 1 ,x 2 ,...} eine abzählbare Teilmenge von R und ε > 0. Dann liegt x j imIntervall I j := [x j − ε2 −j−2 ,x j + ε2 −j−2 ]. Also überdeckt die Vereinigung ⋃ j I jdie Menge {x 1 ,x 2 ,...}, und für die Intervalllängen gilti=0∞∑|I j | =j=1∞∑ε·2 −j−1 = ε/2 < ε.j=1(c) Seien M 1 ,M 2 ,... Nullmengen und ε > 0. Für jede Menge M j gibt es IntervalleI j1 ,I j2 ,... mit ∑ k |I jk| < ε · 2 −j , welche M j überdecken. Dann überdecken die(abzählbar vielen nach Satz 2.8) Intervalle I 11 ,I 12 ,...,I 21 ,I 22 ,...,I 31 ,I 32 ,... dieVereinigung ⋃ j M j, und für die Intervalllängen gilt∞∑j=1∞∑|I jk | 0. Ist M Nullmenge, so gibt es abgeschlosseneIntervalle I 1 ,I 2 ,... mit M ⊂ ⋃ j I j und ∑ j |I j| =: δ < ε. Ist etwa I j = [a j ,b j ] so132