Analysis II für Mathematiker

14.3 Die Divergenz eines VektorfeldesUnsereletztenZieleindiesemKapitelsinddieVerallgemeinerungdesHauptsatzesder Differential- und Integralrechnung∫ baf ′ (x)dx = f(b)−f(a) = f(x) ∣ ∣ b aund der Formel der partiellen Integration∫ ba∫ bu ′ (x)v(x)dx = − u(x)v ′ (x)dx+u(x)v(x) ∣ b aaauf mehrdimensionale Integrale. Es stellt sich die Frage, durch welche Differentialoperatorendie Ableitungen f ′ ,u ′ ,v ′ und wodurch die Randterme f| b a und uv| b azu ersetzen sind.Unser erstes Ziel ist der Gaußsche Integralsatz im R 3 . Seine anschauliche Bedeutungist völlig einleuchtend:Die Flüssigkeitsmenge, die durch die Oberfläche eines räumlichen Gebietesherausströmt, ist gleich der Flüssigkeitsmenge, die die Quellenin diesem Gebiet hervorbringen.Wie kann man die Flüssigkeitsmenge, die eine Quelle im Punkt (x 0 ,y 0 ,z 0 ) ∈ R 3hervorbringt, mathematisch beschreiben? Wir betrachten eine stationäre (zeitunabhängige)Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit (d.h. mit konstanterDichte), die im Punkt (x,y,z) ∈ R 3 die Geschwindigkeit V(x,y,z) = ( V 1 (x,y,z),V 2 (x,y,z), V 3 (x,y,z) ) hat. Im Punkt (x 0 ,y 0 ,z 0 ) heften wir einen kleinen achsenparallelenQuader Q mit den Seitenlängen ∆x,∆y und ∆z an.zy∆x(x 0 ,y 0 ,z 0 )x∆z∆yDannistdasFlüssigkeitsvolumen,dasproZeiteinheitinRichtungderpositivenx-Achse durch die linke bzw. rechte Seitenwand des Quaders fließt, näherungsweisegleichV 1 (x 0 ,y 0 ,z 0 )∆y∆z bzw. V 1 (x 0 +∆x,y 0 ,z 0 )∆y∆z.281