Analysis II für Mathematiker

9 Folgen und Reihen von FunktionenIn diesem Abschnitt betrachten wir verschiedene Arten der Konvergenz einerFunktionenfolge. Besonders interessiert uns die Frage, ob sich Eigenschaften dereinzelnen Glieder einer konvergenten Funktionenfolge (f n ) auf die Grenzfunktionf vererben, etwa• ist f stetig, wenn alle f n stetig sind?• ist f differenzierbar (integrierbar), wenn alle f n differenzierbar (integrierbar)sind, und gilt in diesem Fallf ′ = (lim f n ) ′ = limf ′ nbzw.∫ baf(x)dx = lim∫ baf n (x)dx?IndiesenFragengehtesletztlichdarum,obzweiGrenzprozesse vertauscht werdenkönnen. Ein Beispiel, wo dieses Vertauschen erlaubt ist, haben wir in Abschnitt6.3 kennengelernt: Ist ∑ ∞n=0 a nz n eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0,so gilt für jedes z 0 ∈ C mit |z 0 | < R∑ ∞lim a n z n =z→z 0n=0∞∑a n z0 n =n=0∞∑n=0a n (limz→z0z) n .Wir gehen diese Probleme nun systematischer an und betrachten anschließendzwei spezielle Klassen von Funktionenreihen: Potenzreihen und Fourierreihen.9.1 Punktweise KonvergenzSei X eine nichtleere Menge, N ein metrischer Raum mit einer Metrik d und fürjedes n ∈ N sei eine Funktion f n : X → N gegeben. Dann heißt (f n ) n∈N eineFunktionenfolge auf X (beachten Sie: alle Glieder einer Funktionenfolge sind aufder gleichen Menge definiert und bilden in eine gleiche Menge hinein ab).Definition 9.1 Die Funktionenfolge (f n ) n∈N konvergiert auf X punktweise gegeneine Funktion f : X → N, wenn für jedes x ∈ X gilt( )d f n (x),f(x) → 0 bzw. lim f n (x) = f(x).n→∞Der punktweise Grenzwert einer Funktionenfolge (f n ) ist eindeutig bestimmt.Beispiel 1 Die Funktionen f n : [0,1] → R seien durch f n (x) = x n gegeben.Für 0 ≤ x < 1 ist lim n→∞ f n (x) = lim n→∞ x n = 0, während lim n→∞ f n (1) =lim n→∞ 1 = 1. Die stetigen (und sogar differenzierbaren) Funktionen f n konvergierenalso punktweise gegen die Funktion{0 für 0 ≤ x < 1f(x) =1 für x = 1,155