Analysis II für Mathematiker

Punkten voneinander unterscheiden, besitzen die gleiche Fourierreihe. Selbst fürstetige Funktionen kann man nicht garantieren, dass ihre Fourierreihe gegen dieAusgangsfunktion punktweise konvergiert. Jedoch gilt:Satz 9.22 Die Funktion f : R → R sei 2π–periodisch und Riemann-integrierbarauf [0,2π], und die folgenden einseitigen Grenzwerte sollen an der Stelle x ∈ Rexistieren:f(x+0) = limh↘0f(x+h) ,limh↘0f(x+h)−f(x+0)hf(x−0) := limh↗0f(x+h),f(x+h)−f(x−0), lim .h↗0 hDann konvergiert die Fourierreihe von f an der Stelle x gegen f(x+0)+f(x−0)2.f sollalsoinxeinseitigeGrenzwerteund“einseitigeAbleitungen”besitzen.Dannkonvergiert die Fourierreihe gegen das arithmetische Mittel der einseitigen Grenzwerte.In den Beispielen 1 und 2 sind diese Bedingungen in jedem Punkt erfüllt.Man hat also jeweils punktweise Konvergenz der Fourierreihe gegen f auf ganzR. Einen Beweis dieses Satzes finden Sie in Heuser, Analysis II, Satz 136.4.Ohne die Differenzierbarkeitsannahme gilt dieser Satz nicht mehr. Man kann aberohne solche Annahmen auskommen, wenn man dafür den Begriff der Konvergenzselbst abschwächt.Wenn die Reihe ∑ ∞k=1 a k die Summe s besitzt, wenn also ihre Partialsummens n = a 1 +...+a n gegen s konvergieren, so konvergieren auch die arithmetischenMittel σ n := 1(s n 1 +...+s n ) gegen s (Cauchyscher Grenzwertsatz, vgl. Heuser,Analysis I, Satz 27.1). Es kann aber sein, dass die Folge (σ n ) auch dann nochgegen eine Zahl s konvergiert, wenn die Folge (s n ) nicht konvergiert (Beispiel:a n = (−1) n ). Man sagt dann, dass die Reihe ∑ ∞n=1 a n im Sinne von Cesarokonvergiert und dass ihre Summe gleich s ist.VonFejerwurdediesesKonzeptaufFourierreihenangewandt.Seidazus 0 (x) = a 02unds n (x) = a n∑02 + (a k coskx+b k sinkx) für n ≥ 1k=1die n-te Partialsumme der Fourierreihe undσ n (x) := 1 (s0 (x)+s 1 (x)+...+s n (x) ) .n+1Satz 9.23 (Fejer) Sei f : R → R 2π–periodisch und Riemann-integrierbar auf[0,2π]. Für jedes x ∈ R sollen die einseitigen Grenzwerte f(x+0) und f(x−0) existieren,und es sei f(x) = 1 2(f(x+0)+f(x−0)). Dann ist f(x) = limn→∞ σ n (x),d.h. die Fourierreihe von f konvergiert im Sinne von Cesaro punktweise gegen f.Ist f stetig, so konvergieren die σ n sogar gleichmäßig gegen f.174