Analysis II für Mathematiker

Anmerkung 1 Seien α,β Multiindizes gleicher Länge. Man rechnet leicht nach,dass für f(x) := x β gilt⎧⎨ β!(D α f)(x) = (β −α)! xβ−α falls β ≥ α⎩0 sonst(β −α und β ≥ α sind komponentenweise zu verstehen). Insbesondere ist{β! falls α = β(D α f)(0) =0 sonst.Hieraus folgt, dass wie bei Funktionen einer Veränderlichen alle partiellen Ableitungenin x bis zur k. Ordnung der Funktion f mit denen ihres Taylorpolynomsder Ordnung k übereinstimmen.Anmerkung 2 Man kann den Satz von Taylor auch für vektorwertige Funktionenf = (f 1 ,...,f m ) T : U → R m formulieren und beweisen. Definieren wir fürsolche Funktionen D i f := (D i f 1 ,...,D i f m ) T : U → R m , so sieht das entsprechendeTaylorpolynom (welches nun ein Vektor ist) formal genauso aus wie in Satz10.21. Für m > 1 muss jedoch das Restglied modifiziert werden (vgl. Abschnitt10.5 für den Mittelwertsatz).Wir sehen uns die Polynome P m (h) := ∑ |α|=man.(D α f)(x)α!h α für m = 0,1,2 genauerm = 0 : Notwendigerweise ist α = (0,...,0) und daher P 0 (h) = f(x).m = 1 : Die einzigen n–Tupel α ∈ N n mit |α| = 1 sind die “Einheitsvektoren”e j = (0,...,0,1,0,...,0) mit der 1 an der j. Stelle. Wegen D e jf = D j f, e j ! = 1und h e j= h j istP 1 (h) =n∑(D j f)(x)h i = 〈(gradf)(x),h〉.j=1m = 2 : Wir haben im Beweis von Satz 10.20 gesehen, dassP 2 (h) = ∑|α|=2(D α f)(x)α!h α = 1 2n∑(D i D j f)(x)h i h j .i,j=1Um dies kompakter zu schreiben, bezeichnen wir für jede zweimal stetig partielldifferenzierbare Funktion f : R n ⊇ U → R die n×n – Matrix( ) n ( ∂ 2 f n(D i D j f)(x) = (x))i,j=1 ∂x i ∂x j i,j=1199