Analysis II für Mathematiker

Im Fall A ∩ B ≠ ∅ schreiben wir A, B und A ∪ B als Vereinigung paarweisedisjunkter IntervalleA = (A∩B)∪(A\B), B = (A∩B)∪(B\A), A∪B = (A∩B)∪(A\B)∪(B\A)und erhalten durch wiederholte Anwendung von (13.3)∫ ∫ ∫ ∫ ∫f dx+ f dx = f dx+ f dx+A B∫A∩B∫A\B= f dx+ f dx.A∪BA∩BB\AFolgerung 13.25 Für Jordan-messbare Mengen A, B gilt|A∪B|+|A∩B| = |A|+|B|.∫f dx+A∩Bf dxFolgerung 13.26 Für Jordan-messbare Mengen A, B mit A ⊆ B gilt |A| ≤ |B|.Beweis Auf jedem Intervall I mit B ⊆ I gilt χ A ≤ χ B und daher∫ ∫ ∫ ∫|A| = dx = χ A dx ≤ χ B dx = dx = |B|.AIWir sagen, dass sich zwei Mengen A, B nicht überlappen, wenn sie nur Randpunktegemeinsam haben, d.h. wenn A∩B ⊆ ∂A∪∂B.Satz 13.27 Seien A, B sich nicht überlappende Jordan-messbare Mengen, undsei f auf A und B Riemann-integrierbar. Dann ist∫ ∫ ∫f dx = f dx+ f dx.A∪BABeweis Nach Satz 13.24 genügt es zu zeigen, dass ∫ f dx = 0. Da außerdemA∩Bgilt:∫∣ f dx∣ ≤ ‖f‖ ∞ |A∩B|,A∩Bgenügt es zu zeigen, dass |A ∩ B| = 0. Da A ∩ B ⊆ ∂A ∪ ∂B, und da ∂A, ∂Bkompakte Nullmengen sind, folgt diese Aussage aus der folgenden Behauptung:JedekompakteNullmengeN istJordan-messbar undbesitztdenJordan-Inhalt 0.Wir beweisen diese Behauptung. Da N Nullmenge ist, gibt es für jedes ε > 0eine Überdeckung von N durch abzählbar viele offene Intervalle I 1 ,I 2 ,... mit|I 1 | + |I 2 | + ... < ε. Da N kompakt ist, überdecken bereits endlich viele dieserIntervalle I 1 ,...,I n die Menge N, und es gilt |I 1 |+...+|I n | < ε. Da auch ∂NIBB255