Analysis II für Mathematiker

Beweis Wir multiplizieren beide Seiten von (9.10) mit cosnxf(x) cosnx = a ∞02 cosnx+ ∑(a m cosmx cosnx+b m sinmx cosnx)m=1und integrieren über [0,2π]. Da die Reihe (9.10) gleichmäßig konvergiert, konvergiertauch die Reihe f(x)cosnx gleichmäßig; Integration und Summation dürfenvertauscht werden. Mit (9.11) erhält man sofort die erste Behauptung in (9.12).Die zweite bekommt man analog durch Multiplikation von f mit sinnx.9.6.3 FourierreihenDie Formeln (9.12) erlauben die Bestimmung von Zahlen a n ,b n auch dann, wennf nicht als gleichmäßig konvergente trigonometrische Reihe vorausgesetzt wird,sondernnuralsRiemann-integrierbarauf[0,2π](esgenügtsogar,dass ∫ 2πf(x)dx0als uneigentliches Integral absolut konvergiert.) Ist f eine solche Funktion, sobestimmen wir gemäß (9.12) Zahlen a n ,b n , die dann die Fourierkoeffizienten vonf heißen, und ordnen f die trigonometrische Reihea 0∞2 + ∑(a n cosnx+b n sinnx) (9.13)n=1zu, die sogenannte Fourierreihe von f.Beispiel 1 Sei f : R → R die “Sägezahnfunktion”, die auf [0,2π) durch⎧⎨ −x+ πf(x) =2⎩ x− 3 2 πfür x ∈ [0,π)für x ∈ [π,2π)π20✻.π.. ..2π.✲definiert und 2π–periodisch ist.− π 2.Da f eine gerade Funktion ist (d.h. f(−x) = f(x) für alle x), ist b n = 0 für allen ≥ 1. Für die a n erhält mana n = 1 π∫ π0(−x+ π )cosnxdx+ 1 2 π∫ 2ππ(x− 3 2 π )cosnxdx.Für n = 0 erhält man sofort a 0 = 0. Für n ≥ 1 folgt mit partieller Integrationa n = 2 1 ( ) { 41−(−1)n=π n 2 π · 1für n ungeraden 20 für n gerade.Die durch f definierte Fourierreihe ist also4( cos3x cosx+ + cos5x +... ) .π 3 2 5 2172