Analysis II für Mathematiker

ein. Ist also (gradf)(x) ≠ 0, so folgt aus (10.18) für den Winkel ϕ zwischen vund (gradf)(x) :∂f(x) = ‖(gradf)(x)‖cosϕ.∂vFolgerung 10.17 Seien U,f,x,v wie in Definition 10.15, und sei (gradf)(x) ≠0. Dann ist die Richtungsableitung ∂f (x) genau dann maximal, wenn cosϕ = 1∂vbzw. ϕ = 0, d.h. wenn (gradf)(x) und v die gleiche Richtung haben. Der Gradientzeigt also in die Richtung des stärksten Anstieges von f in x. Diese Tatsache wirdbei der numerischen Lösung von Extremalaufgaben benutzt.10.5 Der MittelwertsatzAm Ende von Abschnitt 7.6 haben wir gesehen, dass der Mittelwertsatz in seinergewohnten Form für vektorwertige Funktionen nicht mehr gilt. Man hat jedochfür reellwertige Funktionen auf R n die folgende Version.Satz 10.18 (Mittelwertsatz) Sei U ⊆ R n offen und f : U → R differenzierbar.Weiter sei x+th ∈ U für alle t ∈ [0,1]. Dann existiert ein τ ∈ (0,1) mitf(x+h)−f(x) = f ′ (x+τh)h.Beweis Wir betrachten die differenzierbare Funktiong : [0,1] → R, t ↦→ f(x+th).Nach dem Mittelwertsatz 7.27 für Funktionen einer Veränderlichen gibt es einτ ∈ (0,1) mitf(x+h)−f(x) = g(1)−g(0) = dgdt (τ).Nach der Kettenregel (Beispiel 1 aus 10.3) ist weiterdgn∑dt (τ) =i=1∂f∂x i(x+τh)h i = f ′ (x+τh)h.Für Funktionen f : R n → R m mit m ≥ 2 ist die folgende Version des Mittelwertsatzesdie nächstbeste und sehr nützlich.Satz 10.19 Sei U ⊆ R n offen, f : U → R m stetig differenzierbar und x+th ∈ Ufür alle t ∈ [0,1]. Dann istf(x+h)−f(x) =∫ 10f ′ (x+τh)hdτ.Ist insbesondere ‖f ′ (x+th)‖ ≤ M für alle t ∈ [0,1], so folgt‖f(x+h)−f(x)‖ ≤ M‖h‖.195