Analysis II für Mathematiker

Die Sätze 14.10 und 14.11 gelten auch unter allgemeineren Bedingungen andie Menge D. Z.B. darf D die Abschließung eines beschränkten einfach zusammenhängendenGebietes sein, dessen Rand sich durch einen stückweise stetig differenzierbarenWeg parametrisieren läßt. Es genügt sogar, dass D sich in endlichviele derartige Mengen zerlegen läßt.DD 1 D 2 D 3Man beachte die Orientierung des (aus mehreren Stücken bestehenden) Randes.14.6 Der Stokessche IntegralsatzWir beginnen mit einer kurzen Motivation. Sei M ⊆ R 3 offen und V : M →R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld, das wir als Geschwindigkeitsfeld einerströmenden Flüssigkeit deuten. In M sei ein Flächenstück F gegeben, dessenRand durch einen stückweise stetig differenzierbaren und doppelpunktfreien WegY : [a,b] → R 3 parametrisiert wird. Unter der Zirkulation von V entlang ∂Fversteht man das Kurvenintegral∫∂FV ·dY =∫ bDenkt man sich dieses Integral durch Riemann-Summen∑V(Y j )·∆Y ija3∑ (V i Y(t))Ẏi (t)dt. (14.22)i=1approximiert, so entspricht jeder Summand V(Y i )·∆Y i einer Geschwindigkeitskomponentenin der Durchlaufrichtung der Kurve. Die Summation dieser Komponentenist ein Maß dafür, wie stark die Kurve ∂F umströmt wird, d.h. wiestark die Flüssigkeit längs der Kurve zirkuliert.290