Analysis II für Mathematiker

Beweis Die Implikation =⇒ haben wir uns bereits im Anschluss an Satz 11.10überlegt. Nehmen wir nun also an, dass ∫ f·dx = 0 für jeden geschlossenen Wegγγ in U.Wir fixieren einen Punkt x 0 ∈ U. Für jeden Punkt y ∈ U gibt es nach Satz 11.13einen stückweise stetig differenzierbaren Weg γ : [0,1] → U mit γ(0) = x 0 undγ(1) = y. Wir möchten definieren∫F(y) := f ·dx. (11.9)Um auf diese Weise eine Funktion F festlegen zu können, müssen wir uns vergewissern,dass ∫ f ·dx nicht von der Wahl des Weges von x γ 0 nach y abhängt.Sei also η : [0,1] → U ein weiterer stückweise stetig differenzierbarer Weg mitη(0) = x 0 und η(1) = y. Wir betrachten den Weg{γ(t) für t ∈ [0,1]α : [0,2] → U, t ↦→η(2−t) für t ∈ [1,2].Offenbar ist α wieder stückweise stetig differenzierbar, und es gilt α(0) = α(2) =x 0 , d.h. der Weg α ist geschlossen. Nach Voraussetzung ist daher∫ ∫ ∫ ∫ ∫0 = f ·dx = f ·dx+ f ·dx = f ·dx− f ·dx,α α| [0,1] α| [1,2]da im zweiten Teilstück von α der Weg η rückwärts durchlaufen wird. Also isttatsächlich ∫ f·dx nur vom Anfangs- und Endpunkt von γ abhängig. Wir schreibendaher auch ∫ yγx 0f ·dx statt ∫ f ·dx. γWir zeigen nun, dass F Stammfunktion von f ist. Ist f = (f 1 ,...,f n ), so habenwir zu zeigen, dass F stetig differenzierbar in jedem Punkt y ∈ U ist und dass∂F∂x i(y) = f i (y) für alle i ist.Seiy ∈ U.Istε > 0hinreichendklein,soliegtmity auchdiekompletteUmgebungU ε (y) in U. Für alle z ∈ U ε (y) ist dannF(z) =∫ zx 0f ·dx =Wir betrachten den Weg∫ yx 0f ·dx+γ∫ zyγf ·dx = F(y)+γ z : [0,1] → U ε (y), t ↦→ y +t(z −y),der y mit z verbindet. Mit z −y := h erhalten wir∫ y+h ∫F(y +h)−F(y) = f ·dx = f ·dxy γ z∫ 1 n∑n∑∫ 1= f i (y +th)h i dt = f i (y +th)dt·h i .0i=1222i=10∫ zyηf ·dx.