Analysis II für Mathematiker

Wir setzen dies in (14.27) ein und erhalten schließlich∫ ∫ (H ·dY = rot (P ◦F) ∂F 1, (P ◦F) ∂F )1dx∂F D ∂x 1 ∂x∫2( )= (rotH)◦F (x)·ndxD∫ ∫= rotH ·d⃗σ = rotH ·N dσnach der Definition 14.6 des Flächenintegrals.FBeispiel 2 Sei D = {(u,v) ∈ R 2 : u ∈ [0,2π], v ∈ [0,π/2]}, r > 0 undF : R 2 → R 3 , F(u,v) = (rcosucosv, rsinucosv, rsinv).Das Flächenstück F(D) ist die obere Halbkugelfläche um den Ursprung mit demRadius r. Ein Vektorfeld H sei durchH : R 3 → R 3 , H(x,y,z) = (−y,x,1)gegeben. Der Rand ∂D des Rechtecks D läßt sich durch 4 Wege beschreiben:X 1 (t) = (t,0)X 2 (t) = (2π,t)Fmit t ∈ [0,2π],mit t ∈ [0,π/2],X 3 (t) = (−t,π/2) mit t ∈ [−2π,0],X 4 (t) = (0,−t)mit t ∈ [−π/2,0].Die zugehörigen Parameterdarstellungen Y k (t) = F ( X k (t) ) , k = 1,...,4, für dieKurve ∂F(D) sindY 1 (t) = (rcost, rsint,0)Y 2 (t) = (rcost,0,rsint)Y 3 (t) = (0,0,r)mit t ∈ [0,2π],mit t ∈ [0,π/2],mit t ∈ [−2π,0],Y 4 (t) = (rcost,0,−rsint) mit t ∈ [−π/2,0].vX 4X 3X 1DX 2uFY 2xzY 4Y 3Y 1y294