Analysis II für Mathematiker

12.4 Untermannigfaltigkeiten des R nWir haben im vorigen Abschnitt Lösungsmengen von Gleichungen lokal als Funktionsgraphendargestellt. Der folgende Begriff beschreibt allgemein Teilmengendes R n , die sich so darstellen lassen (unabhängig davon, ob sie Lösungsmengeeiner Gleichung sind).Definition 12.8 Eine Teilmenge M ⊆ R n heißt k-dimensionale C m -Untermannigfaltigkeit,wenn gilt: Für jedes x ∈ M gibt es offene Mengen U ⊆ R n undU ′ ⊆ R n mit x ∈ U und einen C m -Diffeomorphismusϕ : U → U ′ mit ϕ(U ∩M) = U ′ ∩(R k ×{0}).Eine solche Abbildung heißt Umgebungskarte. Eine Familie (ϕ j ) j∈J von Umgebungskartenϕ j : U j → U ′ j von M heißt Umgebungsatlas von M, wenn M ⊆⋃j∈J U j.R n−kR n−kMϕxU ′ = ϕ(U)UR kϕ(x)R kϕ(M)Eine Mannigfaltigkeit ist also eine Menge, die in geeigneten krummlinigen Koordinaten(beschrieben durch ϕ) lokal wie R k in R n aussieht.Beispiel 1 (Funktionsgraphen) Sei V ⊆ R k offen und f : V → R n stetig differenzierbar.Wir zeigen, dass der Graph von f, d.h. die MengeM := { ( x,f(x) ) ∈ R k+n : x ∈ V}eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit von R k+n ist. Dazu sei U := V ×R n .DieseMengeistoffenundenthältM (istalsoeineoffeneUmgebungjedesPunktesvon M). Die Abbildungϕ : U → U , (x,y) ↦→ ( x,y −f(x) )ist ein Diffeomorphismus von U mit der Umkehrabbildungϕ −1 : U → U , (x,y) ↦→ ( x,y +f(x) ) .237