Analysis II für Mathematiker

14 Oberflächenintegrale und IntegralsätzeNachdem wir im vergangenen Kapitel gesehen haben, wie man das Volumen einesdreidimensionalen Körpers (z.B. das Volumen einer Kugel) mit Hilfe der Integralrechnungbestimmen kann, wenden wir uns nun den Flächeninhalten gekrümmterFlächen zu (wie z.B. der Oberfläche einer Kugel), für die wir einen geeignetenIntegralbegriff entwickeln.14.1 Flächen, Tangenten und NormalenWir haben früher Kurven als Bilder von Intervallen bzgl. stetiger Abbildungenbeschrieben. Ganz analog definieren wir nun Flächenstücke als Bilder ebener Bereichebzgl. geeigneter Abbildungen.Definition 14.1 Sei D ⊆ R 2 eine beschränkte offene Menge, und ihre AbschließungD sei Jordan-messbar. Weiter sei F : D → R 3 eine stetig differenzierbareFunktion mitrangF ′ (x 1 ,x 2 ) = 2 für alle (x 1 ,x 2 ) ∈ D. (14.1)Dann heißt das Bild von D unter F, d.h. die MengeF := {F(x 1 ,x 2 ) ∈ R 3 : (x 1 ,x 2 ) ∈ D} (14.2)ein Flächenstück im R 3 und die Abbildung F : D → F heißt eine Parameterdarstellungdes Flächenstücks F oder kurz eine Fläche.Genau wie bei Wegen und Kurven unterscheiden wir sorgfältig zwischen der AbbildungF und ihrem Bild F. Offenbar kann es für ein- und dasselbe FlächenstückF verschiedene Parametrisierungen geben.Wichtige Vereinbarung. Wir haben früher die Differenzierbarkeit einer AbbildungF : X → R 3 nur für offene Mengen X ⊆ R 2 erklärt. Die stetige Differenzierbarkeitvon F : D → R 3 haben wir wie folgt zu verstehen: Die Funktion Fläßt sich zu einer stetig differenzierbaren Funktion F : G → R 3 auf eine offeneMenge G ⊃ D fortsetzen. Diese Menge G ist für die Definition des Flächenstücksoffenbar unerheblich. Wir möchten jedoch auch in den Randpunkten von D diepartiellen Ableitungen F x1 und F x2 bilden können und verlangen daher, dass sichF auf eine offene Umgebung G von D stetig differenzierbar fortsetzen läßt.Die Rangbedingung (14.1) wird nur für Punkte aus D gefordert; auf dem Rand∂D = D\D muss sie nicht erfüllt sein. MitF(x 1 ,x 2 ) = ( F 1 (x 1 ,x 2 ), F 2 (x 1 ,x 2 ), F 3 (x 1 ,x 2 ) ) T272