Analysis II für Mathematiker

Beispiel 6 Sei D = E = {(u,v) ∈ R 2 : u 2 +v 2 < 1}. Die ParametrisierungenundF : D → R 3 , F(u,v) = (u,v,uv) TG : E → R 3 , G(u,v) = (u,−v,−uv) Tliefern das gleiche Flächenstück. Wir bestimmen die Normalenvektoren im PunktF(0,0) = G(0,0) = (0,0,0) T . Zunächst istalsoF u (u,v) = (1,0,v) T , F v (u,v) = (0,1,u) T ,F u (u,v)×F v (u,v) = (−v,−u,1) T und F u (0,0)×F v (0,0) = (0,0,1) T .Andererseits istund damitG u (u,v) = (1,0,−v) T , G v (u,v) = (0,−1,−u) TG u (u,v)×G v (u,v) = (−v,u,−1) T und G u (0,0)×G v (0,0) = (0,0,−1) T .Bei Verwendung von F erhalten wir also (0,0,1) T als Normaleneinheitsvektorim Punkt (0,0,0) T an die Sattelfläche, und bei Verwendung von G den Vektor(0,0,−1) T . Man beachte, dass zwar F und G durch den Diffeomorphismus( )ϕ : D → E, ⃗ 1 0 u(u,v) T ↦→ = (u,−v)0 −1)( Tvauseinander hervorgehen, dass aberdetϕ ′ (u,v) = det( ) 1 0= −1 < 00 −1ist. Also sind F und G nicht zueinander äquivalent.14.2 FlächenintegraleWir wollen nun Flächenintegrale definieren. Als Motivation gehen wir ähnlich vorwiebeider ”Herleitung“ derSubstitutionsregelinAbschnitt13.7.SeiF : D → R 3eine Parametrisierung eines Flächenstückes F, wobei wir der Einfachheit halberannehmen, dass D ein achsenparalleles Rechteck in der uv-Ebene ist. Das RechteckD sei in Teilrechtecke Q 1 ,...,Q m zerlegt. Ihre Bilder F(Q 1 ),...,F(Q m ) nennenwir Maschen. Aus diesen Maschen setzt sich das Flächenstück F zusammen.276